作业帮根号下(1+X平方)的原函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 00:33:13
根号下(1+X平方)的原函数
根号下(1+X平方)的原函数
根号下(1+X平方)的原函数
令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),则根号(1+x^2)=sec(t),
∫根号(1+x^2)dx
=∫sec(t)d(tan(t))-----(令此积分为I)
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t))
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)]
=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I
所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C
I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C
={x根号(1+x^2)+ln[根号(1+x^2)+x]}/2+C
不定积分I即为所求原函数.
什么意思，求反函数还是求不定积分
反：X2-1
不：y=±sqrt(x^2-1)
sqrt(1+x^2)=y （sqrt(x) 代表根号x）
首先,这个原函数是多对一函数,其强行求反函数会导致一对多.
但是如果忽略一个函数存在反函数的一个条件：一一对应，那么还是可以求出来的。
①确定原函数定义域和值域
先求1+x^2的范围,是[1,+∞]
故sqrt(1+x^2)的范围是[sqrt(1),sqrt(+∞))=[1,+∞]
全部展开
sqrt(1+x^2)=y （sqrt(x) 代表根号x）
首先,这个原函数是多对一函数,其强行求反函数会导致一对多.
但是如果忽略一个函数存在反函数的一个条件：一一对应，那么还是可以求出来的。
①确定原函数定义域和值域
先求1+x^2的范围,是[1,+∞]
故sqrt(1+x^2)的范围是[sqrt(1),sqrt(+∞))=[1,+∞]
x的范围是R.
②x,y互换，并提出y
sqrt(1+y^2)=x
两边平方,得 1+y^2=x^2
y=±sqrt(x^2-1)
此时不确定是正还是负，还是都可以
这时候看原函数的定义域（原函数的定义域就是反函数的值域）
原函数定义域为R,故±都可以取.
y=±sqrt(x^2-1)
此时观察x^2-1要满足>=0
=>x^2>=1
=>x>=1 or x<=-1
把这个解和原函数的值域取交集,得到x∈[1,+∞]
整理后：
y=±sqrt(x^2-1)
x∈[1,+∞]
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通法总结：
目的：已知一个函数，求其反函数。
①求定义域、值域
②x换成y,y换成x，若存在不确定正负号的，保留正负号
③提取出y放一边
④求出x的自然定义域,并与原函数的值域取交集，得到x的真实定义域
⑤通过原函数定义域来判断出现了正负号选择的时候，是正还是负还是全保留
总之，验证结果一定要满足：原函数和反函数 域严格对等互换
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