作业帮xyz=1,求证：x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:05:49
xyz=1,求证：x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2
xyz=1,求证：x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2
xyz=1,求证：x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2
楼上做错了!
楼上符号搞反了.
x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x)
=（zx^2+yz^2+xy^2+2x+2y+2z+x^2+y^2+z^2)/(2+x+y+z+xy+xz+yz)
欲证x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2
即（zx^2+yz^2+xy^2+2x+2y+2z+x^2+y^2+z^2)/(2+x+y+z+xy+xz+yz) >=3/2
即证2zx^2+2yz^2+2xy^2+4x+4y+4z+2x^2+2y^2+2z^2>=6+3x+3y+3z+3xy+3xz+3yz
即证2zx^2+2yz^2+2xy^2+x+y+z+2x^2+2y^2+2z^2>=6+3xy+3xz+3yz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx ……1(由(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0得)
x^2+y^2+z^2>=3根号3次（x^2y^2z^2)=3…………2
zx^2+z>=2根号（z^2x^2)=2zx…………3
yz^2+y>=2yz…………4
xy^2+y>=2xy…………5
zx^2+yz^2+xy^2>=3根号3次（zx^2*yz^2*xy^2)=3…………6
把1,2,3,4,5,6相加就是
2zx^2+2yz^2+2xy^2+x+y+z+2x^2+2y^2+2z^2>=6+3xy+3xz+3yz
故原命题成立.
证完了,累死了,花了我好长时间.
不会了、、^_^ 得补了
把1用XYZ代调
提取，再代
再提取消元
接着你就差不多可以做了
原式子大于等于 3倍三次根号下xyz/(1+x)(1+y)（1+z)=3三次根号下1/(2+x+y+z+xy+xz+yz)
x+y+y大于等于3倍三次根号下xyz=3
xy+xy+yz大于等于3倍三次根号下x^2y^2z^2=3
所以分母大于等于8
所以原式大于等于3倍三次根号下1/8=3/2
由xyz=1 1/x * 1/y * 1/z=1 知 x+y+z 与1/x+1/y+1/z在x=y=z=1时同时取得最小值
x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x)
=x+1/z+y+1/x+z+1/y
=(x+y+z)+(1/x+1/y+1/z)
>=1/3(xyz)^(1/3)+1/3(1/x*1/y*1/z)^(1/3) 当且仅当x=y=z=1时等号成立
=2/3
错题
x=y=-2,z=1/4时原式=3/20<3/2