作业帮如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证OE⊥平面ACD1.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 19:36:38
如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证OE⊥平面ACD1.
如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证OE⊥平面ACD1.
如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证OE⊥平面ACD1.
如图,因EB⊥面ABCD,OB是OE在面ABCD上的射影,
OB⊥AC,由三垂线定理知,OE⊥AC.
设正方体的棱长为1,则D1E^2=(√2)^2+(1/2)^2=9/4;
OE^2=(√2/2)^2+(1/2)^2=3/4;OD1^2=1^2 +（√2/2）^2=3/2=6/4;
于是有：D1E^2= OE^2+ OD1^2,即三角形D1OE是以D1E为斜边的
直角三角形,所以OE⊥OD1.
综上有：OE⊥AC,OE⊥OD1,OD1∩AC=O,所以OE⊥面ACD1.
证明：连接B1D.BD
∵O是底面正方形ABCD的中心
∴o是BD的中点
又∵E是BB1的中点
∴B1D‖OE
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴A1B1⊥平面AD1A1
∵AD1⊥A1D
∴AD1⊥B1D
即AD1⊥OE
同理可得 CD1⊥OE
又∵AD1交CD1=D1
∴OE⊥平面ACD1.<...
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证明：连接B1D.BD
∵O是底面正方形ABCD的中心
∴o是BD的中点
又∵E是BB1的中点
∴B1D‖OE
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴A1B1⊥平面AD1A1
∵AD1⊥A1D
∴AD1⊥B1D
即AD1⊥OE
同理可得 CD1⊥OE
又∵AD1交CD1=D1
∴OE⊥平面ACD1.
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