如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 12:00:17
如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积
如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积
如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积
连接AD,设圆心为O,连接OD.OD=OA=OB=2/2=1,∠ADB=90°,因Rt△ABC中,
∠BAC=90°,AC=AB,其为等腰RT三角形,
∠ABC=45°,又∠ADB=90°,所以∠DAB=45°.又OA=OD,∠ODA=45°,
所以∠AOD=90°.
所以可证RT三角形ADB为等腰RT三角形,OD⊥AB,且平分AB.
扇形BOD面积=90°/360°*(2/2)²π=π/4
S△BOD=(2/2)²/2=1/2
弓形BD面积=扇形BOD面积-S△BOD=π/4-1/2,弓形AD面积=弓形BD面积=π/4-1/2,
S△ADB=2S△BOD=1/2*2=1
S△ADB+弓形AD面积=1+π/4-1/2=1/2+π/4,
S阴影部分=S△ABC-(S△ADB+弓形AD面积)=2*2/2-(1/2+π/4)=3/2+π/4
连接OD,AD. ∵∠BAC=90°,AB=AC=2, ∴△ABC是等腰直角三角形,有∠B=∠C=45°, ∵∠ADB=90°, ∴AD是等腰直角三角形斜边BC上的高,则点D是BC的中点, ∴OD是△ABC的AC边对的中位线,OD∥AC, ∴点D也是半圆ADB的中点,则弓形BD与弓形AD的面积相等,所以阴影部分的面积等于△ACD的面积. ∵△ACD是等腰直角三角形,则AD=CD=根号2/2 × AC=根号2 ∴S阴影=S△ACD=1/2×AC×AD=1/2×2×根号2=根号2