非欧几何中对极限的问题x趋近于零时在数轴上是趋近于一个点,而1/x从不同方向上趋近于正负无穷.在非欧几何中如何统一这个矛盾现象?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 08:33:42

非欧几何中对极限的问题x趋近于零时在数轴上是趋近于一个点,而1/x从不同方向上趋近于正负无穷.在非欧几何中如何统一这个矛盾现象?
非欧几何中对极限的问题
x趋近于零时在数轴上是趋近于一个点,而1/x从不同方向上趋近于正负无穷.在非欧几何中如何统一这个矛盾现象?

非欧几何中对极限的问题x趋近于零时在数轴上是趋近于一个点,而1/x从不同方向上趋近于正负无穷.在非欧几何中如何统一这个矛盾现象?
如果在一维考虑这个问题,可以把数轴的正负无穷“粘”起来(这样数轴可以看作一个圈),正负无穷是一个点,并无区别.1/x是分式线性变换,保交比不变.
如果在二维考虑这个问题,至少(依我的水平)有两种看法吧.
如果在射影平面上看,每一个方向与一个无穷远点相对应,平行的直线相交于同一个无穷远点,一条直线的两端(有点像正负无穷)都是同一个点.
举个例子来说,双曲线和椭圆是射影等价的,但是双曲线有两支,却可以和椭圆一样“一笔”画出:
沿一支的渐近线延伸下去,上面说到,渐近线的两端是同一点,所以在无穷远处(或者说在无穷远的坐标下)双曲线的两支是相通的.
如果在增广复平面C∪{无穷远点}上考虑问题,无穷远处只有一个点,上面所说的变换1/x可以扩充为复平面上的变换1/z,是复线性变换,保圆.当z->0时,1/z趋向于“无穷远点”.

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