已知数列{an}满足a(n+1)=Sn+(n+1)且a1=1,求an和Sn的表达式

已知数列{an}满足a(n+1)=Sn+(n+1)且a1=1,求an和Sn的表达式
已知数列{an}满足a(n+1)=Sn+(n+1)且a1=1,求an和Sn的表达式

已知数列{an}满足a(n+1)=Sn+(n+1)且a1=1,求an和Sn的表达式
a(n+1)=Sn+(n+1) (1)
an=S(n-1)+n (2)
a(n+1)-an=an+1
a(n+1)+1=2(an+1)
数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列
an+1=2*2^(n-1)=2^n,
an=2^n-1
Sn=a（n+1）-(n+1)=2^(n+1)-1-（n+1）=2^(n+1)-n-2

an=S(n-1)+n
a(n+1)=Sn+(n+1)
两式相减得
a(n+1)-an=Sn-S(n-1)+1
Sn-S(n-1)=an
所以，a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1=2(an+1)-1
[a(n+1)+1]/(an+1)=2
an+1构成一个公比为2的等比数列。
an+1=(1+1)2^(n-1)
an=2^n-1 n=1,2,3,……
Sn=2^(n+1)-n-1

已知数列{a‹n›}满足a‹n+1›=S‹n›+(n+1)且a₁=1,求a‹n›和S‹n›的表达式
a‹n+1›=S‹n›+n+1.......(1)
a‹n›=S&...

全部展开

已知数列{a‹n›}满足a‹n+1›=S‹n›+(n+1)且a₁=1,求a‹n›和S‹n›的表达式
a‹n+1›=S‹n›+n+1.......(1)
a‹n›=S‹n-1›+n...........(2)
(1)-(2)得：a‹n+1›-a‹n›=S‹n›-S‹n-1›+1=a‹n›+1
故a‹n+1›=2a‹n›+1=2(a‹n›+1)-1
即有a‹n+1›+1=2(a‹n›+1)，故(a‹n+1›+1)/(a‹n›+1)=2
即{a‹n›+1}是首项为2，公比为2的等比数列。故a‹n›+1=2×2^(n-1)=2ⁿ
于是得通项a‹n›=2ⁿ-1.
从而得S‹n›=2(2^n-1)-n=2^(n+1)-n-2

收起