作业帮帮帮忙看看这道线性代数题好吗
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 03:51:10
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因为 AB=0
所以 B的列向量都是 AX=0 的解
由于R(B)=2, 所以AX=0 至少有2个线性无关的解
所以 0 至少是A的2重特征值
且B的1,2列b1=(1,1,1)^T,b2=(-1,1,0)^T
是A的属于特征值0的正交的特征向量
由已知 ∑aii=2=∑λi
所以 A 的特征值为 0,0,2
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值2的特征向量b3满足
x1+x2+x3=0
-x1+x2=0
解得 b3=(1,1,-2)^T
将b1,b2,b3单位化构成矩阵Q=
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则 X=QY 是正交变换, 且 f=2y3^2
由 Q^-1AQ=diag(0,0,2) 得 A=Qdiag(0,0,2)Q^-1=
1/3 1/3 -2/3
1/3 1/3 -2/3
-2/3 -2/3 4/3
所以 f(x1,x2,x3)=1/3(x1^2+x2^2+4x3^2+2x1x2-4x1x3-4x2x3)