如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；（2）当点P运

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 08:10:13

如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；（2）当点P运
如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O,P,D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定的顶点,当点P运动到何处,三角形PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和三角形PDE的周长

如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；（2）当点P运
分析：本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数,及线段最短和探索性的问题．
（1）通过△POC≌△POD而证得PC=PD．
（2）首先要确定P点的位置,再求出P、F两点坐标,利用待定系数法求的抛物线解析式；
（3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与∠AOC的平分线的交点,再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标．进而求的△PED的周长；
（4）要使∠CPN=90°,则P点是以O为圆心OC长为半径的圆与角平分线的交点,由此就易于写出P点的坐标．（1）∵点D是OA的中点,
∴OD=2,
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分线,
∴∠POC=∠POD=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD．
（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求．
易知点F的坐标为（2,2）,故BF=2,作PM⊥BF,
∵△PBF是等腰直角三角形,
∴PM=1 2 BF=1,
∴点P的坐标为（3,3）．
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
又∵抛物线经过点P（3,3）和点D（2,0）,
∴有 9a+3b=3 4a+2b=0
解得 a=1 b=-2
∴抛物线的解析式为y=x2-2x；
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC,它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC,而两点之间线段最短）,此时△PED的周长最小．
∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1,-1）,C点的坐标（0,2）,
设CE所在直线的解析式为y=kx+b,
则有 k+b=-1 b=2 ,
解得 k=-3 b=2 ．
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2．
点P满足 y=-3x+2 y=x ,
解得 x=1 2 y=1 2 ,
故点P的坐标为(1 2 ,1 2 )．
△PED的周长即是CE+DE= 10 + 2 ；
（4）存在点P,使∠CPN=90度．其坐标是(1 2 ,1 2 )或（2,2）．

回答的那位看错题目了吧..........最后一小题有改动哦，不是原来的题目，我也在为这题纠结呢...........