庞加莱猜想是什么?

庞加莱猜想是什么?
庞加莱猜想是什么?

庞加莱猜想是什么?
庞加莱猜想:
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个.
1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球.
如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想像：
我们想象这样一个房子,这个空间是一个球.或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子.
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球型房子里.现在拿一个汽球来,带到这个球形的房子里.随便什么汽球都可以（其实对这个汽球是有要求的）.这个汽球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以（对形状也有一定要求）.但是这个汽球,我们还可以继续吹大它,而且假设汽球的皮特别结实,肯定不会被吹破.还要假设,这个汽球的皮是无限薄的.
好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹.吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙.
看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学和逻辑推理.一个世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终.2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会就把庞加莱猜想列为七个“千年大奖问题”之一, 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励.另外六个“千年大奖问题”分别是： NP 完全问题, 郝治 猜想（Hodge）, 黎曼假设（Rieman ）,杨－米尔斯 理论(Yang-Mills), 纳卫尔－斯托可方程（Navier-Stokes）, BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）.
提出这个猜想后,庞加莱一度认为,自己已经证明了它.但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来.于是,拓扑学家们开始了证明它的努力.
20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项.但突然,英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣.他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文.失之桑榆、收之东隅,但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特黑德流形. 30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中.帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家.因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”（Papa）.在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客.帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力.”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却折在了庞加莱猜想的证明上.在普林斯顿大学流传着一个故事.直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言.
这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究,虽然没能产生他们所期待的结果,但是,却因此发展出了低维拓扑学这门学科.
一次又一次尝试的失败,使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一.然而,因为它是几何拓扑研究的基础,数学家们又不能将其撂在一旁.这时,事情出现了转机.
1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale）,在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,高维的会不会容易些呢?1960年到1961年,在里约热内卢的海滨,经常可以看到一个人,手持草稿纸和铅笔,对着大海思考.他,就是斯梅尔.1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明,立时引起轰动.
10多年之后的1983年,美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步.在唐纳森工作的基础上,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖.但是,再向前推进的工作,又停滞了.
拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具.瑟斯顿（Thruston）就是其中之一.他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖.
然而,庞加莱猜想,依然没有得到证明.人们在期待一个新的工具的出现.
“就像费马大定理,当谷山志村猜想被证明后,尽管人们还看不到具体的前景,但所有的人心中都有数了.因为,一个可以解决问题的工具出现了.”清华大学数学系主任文志英说.
可是,解决庞加莱猜想的工具在哪里?
工具有了.
理查德·汉密尔顿,生于1943年,比丘成桐大6岁.虽然在开玩笑的时候,丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”,但提起他的数学成就,却只有称赞和惺惺相惜.
1972年,丘成桐和李伟光合作,发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论.丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想,并因此获得菲尔茨奖.1979年,在康奈尔大学的一个讨论班上,当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿.“那时候,汉密尔顿刚刚在做Ricci流,别人都不晓得,跟我说起.我觉得这个东西不太容易做.没想到,1980年,他就做出了第一个重要的结果.”丘成桐说,“于是,我跟他讲,可以用这个结果来证明庞加莱猜想,以及三维空间的大问题.”
Ricci流,以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程.用它可以完成一系列的拓扑手术,构造几何结构,把不规则的流形变成规则的流形,从而解决三维的庞加莱猜想.看到这个方程的重要性后,丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流.其中,就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东.
第一次见到曹怀东,是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上.虽然那一段时间,几乎所有的媒体都在找曹怀东,但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他,在会场里走了好几圈,居然没有人认出.这也难怪.绝大多数的数学家,依然是远离公众视线的象牙塔中人,即使是名动天下如威滕（Witten）,坐在后排,俨然也是大隐隐于市的模样.
1982年,曹怀东考取丘成桐的博士.1984年,当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时,曹怀东也跟了过来.但是,他的绝大多数时间,是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”.这时,丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向.其中做得最优秀的,是施皖雄.他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为个性和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学.提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉.一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?
在使用Ricci流进行空间变换时,到后来,总会出现无法控制走向的点.这些点,叫做奇点.如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键.在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后,1993年,汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文.便在此时,丘成桐隐隐感觉到,解决庞加莱猜想的那一刻,就要到来了.