求证数学归纳法,假设(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13 是整数证(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/14 21:17:21

求证数学归纳法,假设(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13 是整数证(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数
求证数学归纳法,假设(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13 是整数
证(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数

求证数学归纳法,假设(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13 是整数证(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数
(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13
=[3^(6k+3+6) + 4^(6k+3+6)]/13
=[3^6*3^(6k+3)+ 4^6*4^(6k+3)]/13
=[3^6*3^(6k+3)+ 3^6*4^(6k+3)+(4^6-3^6)*4^(6k+3)]/13
=[3^6*3^(6k+3)+ 3^6*4^(6k+3)]/13+(4^6-3^6)*4^(6k+3)/13
=3^6*[3^(6k+3)+ 4^(6k+3)]/13+(4^6-3^6)*4^(6k+3)/13
前一项整除,看后一项
4^6-3^6=(4^3-3^3)(4^3+3^3)
=(64-27)(64+27)
=(64-27)*91
=(64-27)*7*13
可见后一项也是13的倍数,所以成立

因为k为任意数所以设k=k+1
(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 =(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13
又因为(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13 是整数
所以（3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数

全部展开

设：(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13=m,m为整数，则
(3^(6k+3) + 4^(6k+3))=13m
(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))=3^(6k+9)+4^(6k+9)=729*【3^(6k+3)+ 4^(6k+3)】
+(4096-729)*4^(6k+3)=729*13m+3367*4^(6k+3)=729*13m+259*13*4^(6k+3)
∴(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))也是十三的整数倍
∴(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数
话说，中间那一块只是分解而已。。

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令前者=P
则3^(6k+3)=13P-4^(6k+3)，
n=k+1时，左边=3^6{13p-4^(6k+3)}+4^6{4^(6k+3)}/13
=3^6P+4^(6k+3){(4^3+3^3)(4^3-3^3)}/13
=3^6P+4^(6k+3){(4^3-3^3)}*7是个整数

(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13
=(3^(6k+3+6) + 4^(6k+3+6))/13
=(3^6*3^(6k+3) +4^6* 4^(6k+3))/13
=[（26+1）^2*3^(6k+3)+(65-1)^2^(6k+3)]/13
=[26p3^(6k+3)+65q*^(6k+3)+3^(6k+3) + 4^(6k+3)]/13
。。。
∴。。。

3^(6k+3) + 4^(6k+3)=27^(2k+1)+64^(2k+1)=(26+1)^(2k+1)+(65-1)^(2k+1)
=C(2K+1,0)*26^(2K+1)*1^0+C(2K+1,1)*26^(2K+1-1)*1^1+...+C(2K+1,X)*26^(2K+1-X)*1^X+...+C(2K+1,2K+1)*26^[2K+1-(2K+1)]*1^(2K+1)
...

全部展开

3^(6k+3) + 4^(6k+3)=27^(2k+1)+64^(2k+1)=(26+1)^(2k+1)+(65-1)^(2k+1)
=C(2K+1,0)*26^(2K+1)*1^0+C(2K+1,1)*26^(2K+1-1)*1^1+...+C(2K+1,X)*26^(2K+1-X)*1^X+...+C(2K+1,2K+1)*26^[2K+1-(2K+1)]*1^(2K+1)
+C(2K+1,0)*65^(2K+1)*(-1)^0+C(2K+1,1)*65^(2K+1-1)*(-1)^1+...+C(2K+1,X)*65^(2K+1-X)*(-1)^X+...+C(2K+1,2K+1)*65^[2K+1-(2K+1)]*(-1)^(2K+1)
=C(2K+1,0)*26^(2K+1)+C(2K+1,1)*26^(2K)+...+C(2K+1,X)*26^(2K+1-X)+...+C(2K+1,2K)*26
+C(2K+1,0)*65^(2K+1)-C(2K+1,1)*65^(2K)+...+C(2K+1,X)*65^(2K+1-X)*(-1)^X+...+C(2K+1,2K)*65
式中各项都是13的倍数，所以(3^(6k+3) + 4^(6k+3))/13 是整数
同理3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3)=27^(2k+3) +64^(2k+3)
=C(2K+3,0)*26^(2K+3)+C(2K+3,1)*26^(2K+2)+...+C(2K+3,X)*26^(2K+3-X)+...+C(2K+3,2K+2)*26
+C(2K+3,0)*65^(2K+3)-C(2K+3,1)*65^(2K+2)+...+C(2K+3,X)*65^(2K+3-X)*(-1)^X+...+C(2K+3,2K+2)*65
式中各项都是13的倍数，所以(3^(6(k+1)+3) + 4^(6(k+1)+3))/13 是整数

归纳法不知怎么做

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