在空间四边形PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D为PC的中点,（1）异面直线AD与BC所成角的大小；（用反三角函数表示）（2）AD与平面ABC所成角的大小；（用反三角函数表示）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/07 20:55:26

在空间四边形PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D为PC的中点,（1）异面直线AD与BC所成角的大小；（用反三角函数表示）（2）AD与平面ABC所成角的大小；（用反三角函数表示）
在空间四边形PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D为PC的中点,
（1）异面直线AD与BC所成角的大小；（用反三角函数表示）
（2）AD与平面ABC所成角的大小；（用反三角函数表示）

在空间四边形PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D为PC的中点,（1）异面直线AD与BC所成角的大小；（用反三角函数表示）（2）AD与平面ABC所成角的大小；（用反三角函数表示）
你所给的图中,点B、C的位置需要调换过来.
第一个问题：
取PB的中点为E,令DE的中点为F.
∵D、E分别是PC、PB的中点,∴ED＝BC/2、ED∥BC,∴∠ADE＝AD与BC所成的角.
∵PA＝PC＝AC＝PB＝AB＝BC,∴△PAB≌△PAC,∴AE＝AD＝（√3/2）BC,又DF＝EF,
∴AF⊥DF,∴cos∠ADE＝DF/AD＝（ED/2）/［（√3/2）BC］＝（BC/2）/（√3BC）＝√3/6,
∴∠ADE＝arccois（√3/6）.
∴AD与BC所成的角为 arccois（√3/6）.
第二个问题：
过P作PO⊥平面ABC交平面ABC于O,连CO并延长交AB于G,过D作DH⊥CO交CO于H.
∵PA＝PC＝AC＝PB＝AB＝BC,∴P－ABC是正四面体,∴O是△ABC的中心,
∴CO＝（2/3）CG＝（2/3）（√3/2）BC＝（√3/3）BC.
∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥CO,
∴PO＝√（PC^2－CO^2）＝√［（BC^2－（1/3）BC^2］＝（√2/3）BC.
∵PO⊥CO、DH⊥CO,∴DH∥PO,又D∈PC且PD＝CD,∴DH＝（1/2）PO＝（√2/6）BC.
∴sin∠DAH＝DH/AD＝（√2/6）BC/［（√3/2）BC］＝√6/9,∴∠DAH＝arcsin（√6/9）.
∵DH∥PO、PO⊥平面ABC,∴DH⊥平面ABC,∴∠DAH就是AD与平面ABC所成的角.
∴AD与平面ABC所成的角为 arcsin（√6/9）.