为什么行列式展开式中正项和负项各占一半?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 18:08:56

为什么行列式展开式中正项和负项各占一半?
为什么行列式展开式中正项和负项各占一半?

为什么行列式展开式中正项和负项各占一半?
可用两种方法说明

构造元素都是1的行列式

这个行列式显然等于0(至少2阶)
由行列式的定义,其每个展开项都是1或-1
故正负项各占一半 (正负抵消为0)


  2.有个结论:交换一排列中的两个元素的位置,则排列改变其奇偶性
由此,在所有偶排列与所有奇排列之间可建立一一对应:
对任一个偶排列,交换其前两个元素 对应得到一个 奇排列
所以奇偶排列个数相同,各占 n!的一半
进而知行列式展开式中正负项各占一半

　　没有为什么，行列式展开式是定义的。所谓 “定义的”，就是随你愿意怎么定义就这么定义，但必须得能自圆其说，也就是 “合理性”，不自相矛盾，它就能成就一套理论，就有人相信了。

当然前提是n>1的行列式
那么展开有n!个项，
每一项是位于不同行不同列的n个数的乘积再乘以(-1)的t 次幂，
而t 是把每个乘积中的项的行标按顺序排好后相应列标的逆序数，
t 的取值从1到n! ，有n! 个数
而n≥2，
n的阶乘n! 中当然有一半是偶数，一半是奇数，
所以(-1)的t 次幂一半是正数，一半是负数...

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当然前提是n>1的行列式
那么展开有n!个项，
每一项是位于不同行不同列的n个数的乘积再乘以(-1)的t 次幂，
而t 是把每个乘积中的项的行标按顺序排好后相应列标的逆序数，
t 的取值从1到n! ，有n! 个数
而n≥2，
n的阶乘n! 中当然有一半是偶数，一半是奇数，
所以(-1)的t 次幂一半是正数，一半是负数

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