作业帮cos^2x+sinx单调区间
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 15:48:22
cos^2x+sinx单调区间
cos^2x+sinx单调区间
cos^2x+sinx单调区间
y=cos^2x+sinx=y=-sin²x+sinx+1
令t=sinx∈[-1,1] 则：y=-t²+t+1
对称轴：t=1/2 t ∈[-1,1/2]增 t∈[1/2,1]减
在 t=sinx ∈[-1,1/2] 中 x∈[-π/2+2kπ,π/6+2kπ] 增 x∈[5π/6+2kπ,3π/2+2kπ]减
在 t=sinx ∈[1/2,1] 中 x∈[π/6+2kπ,π/2+2kπ]增 x∈[π/2+2kπ,5π/6+2kπ]减
（画正弦函数图象 可以很直观的看清楚）
根据复合函数同增异减性原则
y=cos^2x+sinx的单调增区间[-π/2+2kπ,π/6+2kπ] 和[π/2+2kπ,5π/6+2kπ]
单调减区间[5π/6+2kπ,3π/2+2kπ]和[π/6+2kπ,π/2+2kπ]
y'=2cosx(-sinx)+cosx=cosx*(1-2sinx), 令y'=0,在0到2π内，求得：x=π/6, π/2, 5π/6, 3π/2
在(0,π/6),y'>0，在(π/6,π/2),y'<0，在(π/2,5π/6)，y'>0，在（5π/6,3π/2)，y'>0，在(3π/2,2π)，y'<0。故单增区间为(0,π/6) ,(π/2,5π/6)，（5π/6,3π/2)，...
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y'=2cosx(-sinx)+cosx=cosx*(1-2sinx), 令y'=0,在0到2π内，求得：x=π/6, π/2, 5π/6, 3π/2
在(0,π/6),y'>0，在(π/6,π/2),y'<0，在(π/2,5π/6)，y'>0，在（5π/6,3π/2)，y'>0，在(3π/2,2π)，y'<0。故单增区间为(0,π/6) ,(π/2,5π/6)，（5π/6,3π/2)，
单减区间为(π/6,π/2), (3π/2,2π)，
上述区间加上周期2π，则为全部单调区间
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令：y=(cosx)^2+sinx
y=(cosx)^2+sinx
y=-(sinx)^2+sinx+1
不妨设：z=sinx，代入上式，有：
y=-z^2+z+1
y'=-2z+1
令：y'＞0，即：-2z+1＞0
解得：z＜1/2
由所设，可得：sinx＜1/2
解得：2kπ-7π/6＜x＜2kπ+π/6
即：所求...
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令：y=(cosx)^2+sinx
y=(cosx)^2+sinx
y=-(sinx)^2+sinx+1
不妨设：z=sinx，代入上式，有：
y=-z^2+z+1
y'=-2z+1
令：y'＞0，即：-2z+1＞0
解得：z＜1/2
由所设，可得：sinx＜1/2
解得：2kπ-7π/6＜x＜2kπ+π/6
即：所求函数的单调增区间是：x∈(2kπ-7π/6，2kπ+π/6)
同理，令：y'＜0，即：-2z+1＜0
解得：z＞1/2
由所设，可得：sinx＞1/2
解得：2kπ+π/6＜x＜2kπ+5π/6
即：所求函数的单调减区间是：x∈(2kπ+π/6，2kπ+5π/6)
综上所述，有：
所求函数的单调增区间是：x∈(2kπ-7π/6，2kπ+π/6)
所求函数的单调减区间是：x∈(2kπ+π/6，2kπ+5π/6)
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