作业帮大一偏导数问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 00:35:11
大一偏导数问题
大一偏导数问题
大一偏导数问题
令u=x+z/y,v=y+z/x
则αu/αx=1+(αz/αx)/y,αu/αy=(αz/αy)/y-z/y²,αv/αx=(αz/αx)/x-z/x²,αv/αy=1+(αz/αy)/x
∵f(u,v)=0 ==>(αf/αu)(αu/αx)+(αf/αv)(αv/αx)=0,(αf/αu)(αu/αy)+(αf/αv)(αv/αy)=0
(分别对x和y求偏导数)
==>(αu/αx)(αv/αy)=(αv/αx)(αu/αy) (由前两式得)
==>[1+(αz/αx)/y][1+(αz/αy)/x]=[(αz/αx)/x-z/x²][(αz/αy)/y-z/y²]
==>1+(αz/αx)/y+(αz/αy)/x=z²/(x²y²)-(z/x²y)(αz/αy)-(z/xy²)(αz/αx)
==>(αz/αx)(z+xy)/(xy²)+(αz/αy)(z+xy)/(x²y)=(z²-x²y²)/(x²y²)
==>(z+xy)[(αz/αx)/(xy²)+(αz/αy)/(x²y)]=(z+xy)(z-xy)/(x²y²)
==>(αz/αx)/(xy²)+(αz/αy)/(x²y)=(z-xy)/(x²y²)
==>x(αz/αx)+y(αz/αy)=z-xy (两端同乘x²y²)
∴原命题成立.