作业帮一个关于排列组合的问题（盒里放小球）20个不加区分的小球放入编号为1、2、3的盒子中,盒里的小球数不得少于盒子的编号,有多少种分法?若是换成20个加以区分的小球,又有多少种分法
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 06:05:23
一个关于排列组合的问题（盒里放小球）20个不加区分的小球放入编号为1、2、3的盒子中,盒里的小球数不得少于盒子的编号,有多少种分法?若是换成20个加以区分的小球,又有多少种分法
一个关于排列组合的问题（盒里放小球）
20个不加区分的小球放入编号为1、2、3的盒子中,盒里的小球数不得少于盒子的编号,有多少种分法?
若是换成20个加以区分的小球,又有多少种分法
一个关于排列组合的问题（盒里放小球）20个不加区分的小球放入编号为1、2、3的盒子中,盒里的小球数不得少于盒子的编号,有多少种分法?若是换成20个加以区分的小球,又有多少种分法
不加区分：
那么就是不定方程：x1+x2+x3=20(xi≥i,i=1,2,3)的整数解个数
那么就是x1+(x2-1)+(x3-2)=17(xi≥1,i=1,2,3)的整数解个数
用你熟知的隔板法(或者叫插空法)或者用公式,你都能算出个数是：
C(16,2)=120种方法.
小球加以区分：
如果用分类的方法的话会很繁琐的,所以我建议你用容斥原理：
Ai=“编号为i的盒子中的小球数少于i个”
那么
card(A1)=2^20
card(A2)=2^20+C(20,1)*2^19
card(A3)=2^20+C(20,1)*2^19+C(20,2)*2^18
card(A1∩A2)=1+C(20,1)
card(A1∩A3)=1+C(20,1)+C(20,2)
card(A2∩A3)=1+2*C(20,1)+C(20,2)+C(20,1)*C(20,1)+C(20,1)*C(20,2)
card(A1∩A2∩A3)=0
我们要求的事件是A1∪A2∪A3的逆事件
其个数等于3^20-[card(A1)+card(A2)+card(A3)]+[card(A1∩A2)+card(A1∩A3)+card(A2∩A3)]-card(A1∩A2∩A3)