作业帮问一道高中不等式若0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 16:34:14
问一道高中不等式若0
问一道高中不等式
若0
请用柯西不等式证明
问一道高中不等式若0
因为xy+yz+zx=1,所以x+y+z<=√3
根据柯西不等式
（a1^2+a2^2+...+an^2）(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
所以
[(2-x*√3)y+(2-y*√3)z+(2-z*√3)x]*[y/(2-x*3^(1/2))+z/(2-y*3^(1/2))+x/(2-z*3^(1/2))]>=(x+y+z)^2
即y/(2-x*3^(1/2))+z/(2-y*3^(1/2))+x/(2-z*3^(1/2))>=（x+y+z）^2/[2(x+y+z)-√3]>=√3
利用柯西不等式
[y/(2-x*3^(1/2))+z/(2-y*3^(1/2))+x/(2-z*3^(1/2))]*[y*(2-x*3^(1/2))+z*(2-y*3^(1/2))+x*(2-z*3^(1/2))]>=(y+z+x)^2
即原式*（2（x+y+z)-√3)>=(x+y+x)^2
设t=x+y+z
t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)...
全部展开
利用柯西不等式
[y/(2-x*3^(1/2))+z/(2-y*3^(1/2))+x/(2-z*3^(1/2))]*[y*(2-x*3^(1/2))+z*(2-y*3^(1/2))+x*(2-z*3^(1/2))]>=(y+z+x)^2
即原式*（2（x+y+z)-√3)>=(x+y+x)^2
设t=x+y+z
t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)>=3(xy+yz+zx)=3
t>=√3
2t-√3>0
原式>=t^2/(2t-√3)=(2t-√3)/4+3/[4(2t-√3)]+√3/2>=2*√(3/16)+√3/2=√3/2+√3/2=√3
等号当且仅当x=y=z=√3/3时成立
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