如图,S为矩形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是SD,BC上的一点,且SE:ED=BF:FC,求证:EF//平面SAB
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 09:02:31
如图,S为矩形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是SD,BC上的一点,且SE:ED=BF:FC,求证:EF//平面SAB
如图,S为矩形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是SD,BC上的一点,且SE:ED=BF:FC,求证:EF//平面SAB
如图,S为矩形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是SD,BC上的一点,且SE:ED=BF:FC,求证:EF//平面SAB
连接BD,过F点作一平行于AB的直线交BD于G点
连接EG
三角形BCD中,因为FG平行于CD,所以BG:GD=BF:FC=SE:ED
在三角形SBD中,根据上述比例,可知EG平行于SB
因为SB平行于EG,AB平行于FG
所以,平面SAB平行于平面EFG
所以,结论成立
从点C,D两点分别向平面SAB做垂线,交于点P,Q,则直线BP,SQ分别为直线BC,SD在平面SAB上的投影。
从点E向直线SQ做垂线交于点E',从点F向直线BP做垂线交于点F',则EE':DQ=SE:SD,FF':CP=BF:BC
根据已知条件SE:ED=BF:FC可得:SE:SD=BF:BC,即EE':DQ=FF':CP.
因为直线CD平行于直线BA,可知垂线CP=DQ...
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从点C,D两点分别向平面SAB做垂线,交于点P,Q,则直线BP,SQ分别为直线BC,SD在平面SAB上的投影。
从点E向直线SQ做垂线交于点E',从点F向直线BP做垂线交于点F',则EE':DQ=SE:SD,FF':CP=BF:BC
根据已知条件SE:ED=BF:FC可得:SE:SD=BF:BC,即EE':DQ=FF':CP.
因为直线CD平行于直线BA,可知垂线CP=DQ.故垂线EE'=垂线FF'.即点E,F与平面SAB距离相等。
因此,直线EF平行于平面SAB. 得证。
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我的方法比较笨,三楼的方法比较简洁,应该是首推的;但是两种方法应该都是正解,是两种不同的求证思路,楼主可以自己比较下。
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连结BD,在BD上取一点G,使得BG:GD=BE:ED=BF:FC,连结GE、GF
由平几知识,平行线分线段成比例易知:GE//BS,GF//CD,所以GE//平面SAB
因为矩形ABCD,所以CD//AB,所以GF//AB,GF//平面SAB
因为GE、GF属于平面GEF,所以平面GEF//平面SAB
又EF属于平面GEF,所以EF//平面SAB...
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连结BD,在BD上取一点G,使得BG:GD=BE:ED=BF:FC,连结GE、GF
由平几知识,平行线分线段成比例易知:GE//BS,GF//CD,所以GE//平面SAB
因为矩形ABCD,所以CD//AB,所以GF//AB,GF//平面SAB
因为GE、GF属于平面GEF,所以平面GEF//平面SAB
又EF属于平面GEF,所以EF//平面SAB
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