作业帮微积分问题：判断下列级数的敛散性.∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n))
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 11:12:32
微积分问题：判断下列级数的敛散性.∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n))
微积分问题：判断下列级数的敛散性.∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n))
微积分问题：判断下列级数的敛散性.∑（n=1→∞）（-1）^(n-1)*(1-cos(a/根号n))
加绝对值变成∑（n=1→∞）(1-cos(a/根号n))
用比较判别法的极限形式,n-->无穷大
lim(1-cos(a/根号n))/(1/n^2)=lim(1/2(a/n)^2)/(1/n^2)=1/2a^2
因此级数敛散性与 ∑(1/n^2)相同,而∑(1/n^2)收敛,则原级数绝对收敛
lim(n→+∞) 1-cos(a/√n)=lim(n→+∞) (a/√n)²/2 （使用等价无穷小cosx～1-x²/2）
)=lim(n→+∞) a²/2n，所以取绝对值后的级数敛散性与 ∑(1/n)相同，是发散的
原级数每两项配对，当n→+∞时有An+1/An=[1-cos(a/√n+1)]/[1-cos(a/√n)]
...
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lim(n→+∞) 1-cos(a/√n)=lim(n→+∞) (a/√n)²/2 （使用等价无穷小cosx～1-x²/2）
)=lim(n→+∞) a²/2n，所以取绝对值后的级数敛散性与 ∑(1/n)相同，是发散的
原级数每两项配对，当n→+∞时有An+1/An=[1-cos(a/√n+1)]/[1-cos(a/√n)]
=[(a/√n+1)²/2]/[(a/√n)²/2]=n/n+1→1，且由余弦函数性质，n足够大时1-cos(a/√n)是减函数，则
原级数收敛，所以此级数为条件收敛
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条件收敛
－－－－－－－－
设a＞0，记un=1-cos(a/√n)，因为un=1-cos(a/√n)等价于1/2*(a/√n)^2＝a^2/2*1/n，因为∑1/n发散，所以∑un发散，所以原级数不绝对收敛。
当n很大时，a/√n＜1，所以去掉级数的前有限项后，由cos(a/√n)的单调增加知道｛un｝单调减少，又un当n→∞时的极限是0，所以由莱布尼兹定理，原级数收敛。...
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条件收敛
－－－－－－－－
设a＞0，记un=1-cos(a/√n)，因为un=1-cos(a/√n)等价于1/2*(a/√n)^2＝a^2/2*1/n，因为∑1/n发散，所以∑un发散，所以原级数不绝对收敛。
当n很大时，a/√n＜1，所以去掉级数的前有限项后，由cos(a/√n)的单调增加知道｛un｝单调减少，又un当n→∞时的极限是0，所以由莱布尼兹定理，原级数收敛。
综上，原级数条件收敛
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