已知a、b、c为三角形的三边,且满足a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab,你能说明这个三角形是等边三角形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/05 19:30:13

已知a、b、c为三角形的三边,且满足a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab,你能说明这个三角形是等边三角形
已知a、b、c为三角形的三边,且满足a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab,你能说明这个三角形是等边三角形

已知a、b、c为三角形的三边,且满足a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab,你能说明这个三角形是等边三角形
a的平方+2bc=b的平方+2ca
a²-b²=2ac-2bc
(a-b)(a+b)=2c(a-b)
(a-b)(a+b-2c)=0
因为a+b>2c
所以a+b-2c≠0
所以：a-b=0
a=b
同理,可解得：b=c
所以：a=b=c
所以这个三角形是等边三角形

a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab
a^2+2bc-b^2-2ac
=a^2-b^2+2bc-2ac
=(a+b)(a-b)+2c(b-a)
=(a-b)(a+b-2c)
同理 b^2+2ac-c^2-2ab=0 得(b-c)(b+c-2a)=0
a^2+2bc-c^2-2ab=0 得 (a-c)(a+c-2b)=0
(a-...

全部展开

a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab
a^2+2bc-b^2-2ac
=a^2-b^2+2bc-2ac
=(a+b)(a-b)+2c(b-a)
=(a-b)(a+b-2c)
同理 b^2+2ac-c^2-2ab=0 得(b-c)(b+c-2a)=0
a^2+2bc-c^2-2ab=0 得 (a-c)(a+c-2b)=0
(a-b)(a+b-2c)=0 则 a=b 或 a+b-2c=0
若是 a=b 则 (b-c)(b+c-2a)=0 变为 (b-c)(b+c-2b)=(b-c)(c-b)=0
则 b=c 此时 a=b=c 得证
若是 a+b-2c=0 则 b=2c-a 把它代入(b-c)(b+c-2a)=0
(b-c)(b+c-2a)=0 变为 (2c-a -c)(2c-a +c-2a)=(c-a)(3c-3a)=3(c-a)(c-a)=0 此时 a=c
又 a+b-2c=0 a=c 所以 a+b-2a=0 b-a=0 a=b 所以 a=b=c 得证

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