在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 23:23:00
在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP
在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP
在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP
过A、M、B分别向CD作垂线交CD于E、F、G
则AE平行MF平行BG
又M为AB中点,则MF为AEGB中位线
则2MF=AE+BG
因N为CD中点,则DN=CN=CD/2
S(ADN)+S(BCN)=(DN*AE+CN*BG)/2
=(DN*AE+CN*BG)/2=DN*(AE+BG)/2=DN*2MF/2=DN*MF=CD*MF/2
又S(CDM)=CD*MF/2
则S(ADN)+S(BCN)=S(CDM)
又S(ADN)=S(AQD)+S(DQC),S(BCN)=S(BPC)+S(PCN),S(CDM)=S(MQNP)+S(DQC)+S(PCN)
所以S(BPC)+S(AQD)=S(MQNP)
欲证明S△BPC+S△AQD=SMQNP
那么只需证明S△BPC+S△AQD+S△PNC+S△QDN=SMQNP+S△PNC+S△QDN
(S△BPC+S△PNC)+(S△AQD+S△QDN)=SMQNP+S△PNC+S△QDN
S△BNC+S△AND=SMDC
设A到DC的距离为h1,B到DC的距离为h2,M到DC的距离为h3
很容易得出h1+h2=2*h...
全部展开
欲证明S△BPC+S△AQD=SMQNP
那么只需证明S△BPC+S△AQD+S△PNC+S△QDN=SMQNP+S△PNC+S△QDN
(S△BPC+S△PNC)+(S△AQD+S△QDN)=SMQNP+S△PNC+S△QDN
S△BNC+S△AND=SMDC
设A到DC的距离为h1,B到DC的距离为h2,M到DC的距离为h3
很容易得出h1+h2=2*h3(因为M为AB的中点)
S△BNC=1/2*h1*DN
S△AND=1/2*h2*NC=1/2*h2*DN
S△MDC=1/2*h3*DC=h3*DN
所以S△BNC+S△AND=1/2*h1*DN+1/2*h2*DN
=1/2*DN(h1+h2)
=1/2*DN*2h3
=h3*DN=S△MDC 得证
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过点B,M,A分别做CD的垂线,垂足为E,F,G,则BC,EF,AG三条直线两两平行,因为AM=BM,所以CF=FG。易证AG-BE=2(MF-BE),即2MF=BE+AG。
S△BPC=S△BFC-S△PFC,S△AQD=S△AFD-S△QFD,
S△BPC+S△AQD=S△BFC-S△PFC+S△AFD-S△QFD=S△BFC+S△AFD-(S△PFC+S△QFD).
...
全部展开
过点B,M,A分别做CD的垂线,垂足为E,F,G,则BC,EF,AG三条直线两两平行,因为AM=BM,所以CF=FG。易证AG-BE=2(MF-BE),即2MF=BE+AG。
S△BPC=S△BFC-S△PFC,S△AQD=S△AFD-S△QFD,
S△BPC+S△AQD=S△BFC-S△PFC+S△AFD-S△QFD=S△BFC+S△AFD-(S△PFC+S△QFD).
因为FC=FD,所以S△BFC+S△AFD=1/2*(BE+AG)*FC=MF*FC=1/2*CD*MF=S△MCD.所以
S△BPC+S△AQD=S△BFC+S△AFD-(S△PFC+S△QFD)=S△MCD-(S△PFC+S△QFD)=SMQNP。结论得证
。
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