在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 23:23:00

在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP
在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP

在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP
过A、M、B分别向CD作垂线交CD于E、F、G
则AE平行MF平行BG
又M为AB中点,则MF为AEGB中位线
则2MF=AE+BG
因N为CD中点,则DN=CN=CD/2
S(ADN)+S(BCN)=(DN*AE+CN*BG)/2
=(DN*AE+CN*BG)/2=DN*(AE+BG)/2=DN*2MF/2=DN*MF=CD*MF/2
又S(CDM)=CD*MF/2
则S(ADN)+S(BCN)=S(CDM)
又S(ADN)=S(AQD)+S(DQC),S(BCN)=S(BPC)+S(PCN),S(CDM)=S(MQNP)+S(DQC)+S(PCN)
所以S(BPC)+S(AQD)=S(MQNP)

欲证明S△BPC+S△AQD=SMQNP
那么只需证明S△BPC+S△AQD+S△PNC+S△QDN=SMQNP+S△PNC+S△QDN
(S△BPC+S△PNC)+(S△AQD+S△QDN)=SMQNP+S△PNC+S△QDN
S△BNC+S△AND=SMDC
设A到DC的距离为h1,B到DC的距离为h2,M到DC的距离为h3
很容易得出h1+h2=2*h...

全部展开

欲证明S△BPC+S△AQD=SMQNP
那么只需证明S△BPC+S△AQD+S△PNC+S△QDN=SMQNP+S△PNC+S△QDN
(S△BPC+S△PNC)+(S△AQD+S△QDN)=SMQNP+S△PNC+S△QDN
S△BNC+S△AND=SMDC
设A到DC的距离为h1,B到DC的距离为h2,M到DC的距离为h3
很容易得出h1+h2=2*h3(因为M为AB的中点)
S△BNC=1/2*h1*DN
S△AND=1/2*h2*NC=1/2*h2*DN
S△MDC=1/2*h3*DC=h3*DN
所以S△BNC+S△AND=1/2*h1*DN+1/2*h2*DN
=1/2*DN(h1+h2)
=1/2*DN*2h3
=h3*DN=S△MDC 得证

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过点B,M,A分别做CD的垂线,垂足为E,F,G,则BC,EF,AG三条直线两两平行,因为AM=BM,所以CF=FG。易证AG-BE=2(MF-BE),即2MF=BE+AG。
S△BPC=S△BFC-S△PFC,S△AQD=S△AFD-S△QFD,
S△BPC+S△AQD=S△BFC-S△PFC+S△AFD-S△QFD=S△BFC+S△AFD-(S△PFC+S△QFD).
...

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过点B,M,A分别做CD的垂线,垂足为E,F,G,则BC,EF,AG三条直线两两平行,因为AM=BM,所以CF=FG。易证AG-BE=2(MF-BE),即2MF=BE+AG。
S△BPC=S△BFC-S△PFC,S△AQD=S△AFD-S△QFD,
S△BPC+S△AQD=S△BFC-S△PFC+S△AFD-S△QFD=S△BFC+S△AFD-(S△PFC+S△QFD).
因为FC=FD,所以S△BFC+S△AFD=1/2*(BE+AG)*FC=MF*FC=1/2*CD*MF=S△MCD.所以
S△BPC+S△AQD=S△BFC+S△AFD-(S△PFC+S△QFD)=S△MCD-(S△PFC+S△QFD)=SMQNP。结论得证

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在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P分别为AD、BC、BD的中点,试判断三角形MNP的形状,并说明理由四边星ABCD是一个任意的凸四边形,并且连接BD 如图,在四边形ABCD中,M是AB中点,N是CD中点,如果四边形ABCD的面积是20,那么BNDM的面积是多少? 在四边形ABCD中,M为AB的中点,N为CD的中点,已知四边形ABCD的面积是80平方厘米,求阴影部分BNDM的面积. 在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP 在任意四边形ABCD中,M,N是AB,DC的中点,BN,AN分别交于CM,DM于P,Q 证明:S△BPC+S△AQD=SMQNP 求数学高手帮我解道面积比值题在四边形ABCD中,BE:AB=n:m,BF:BC=n:m,猜想,S四边形debf:S四边形ABCD=?请给出证明过程!过程是重点啊。 在四边形ABCD中 AB=DC MN 分别是AD BC的中点在四边形ABCD中 AB=DC M,N 分别是AD,BC的中点 ∠A=∠D,试说明:MN⊥BC 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,E,F分别为AD,BC,BD,AC的中点,求证:四边形MENF为菱形四边形ABCD是不规则四边形 在四边形abcd中,e.f.m.n分别是ab.bc.cd.da的中点.求证 四边形efmn是平行四边形. 在四边形ABCD中,DF垂直AC于F,BE垂直AC于E,M.N分别是AB.DC中点,求证:四边形MENF是平行四边形 四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB上四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶角E是AB边上任意滑 在四边形ABCD中,AB=CD,角B=∠D,则四边形ABCD是平行四边形,怎么证明? 在四边形abcd中如果AB=CD,∠B=∠D,那么四边形ABCD一定是平行四边形吗 在平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,AB的中点 ∠A=60°AB=2BC 求四边形BMDN是菱形 已知在平行四边形ABCD中,AD=2AB,AE=AB=BF,EC,FD分别交AD,BC于M,N证明四边形DMNC是菱形 在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC、AB的中点,若∠A=60°,AB=2AD.求证:四边形BMDN是菱形 在三角形ABC中E.F.分别是AB.BC.边的中点,M.N.是AC的三等分点,EM与FN交点D.求证:四边形ABCD是平行四边RT 在任意凸四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,AN、BN、DM、CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7.那么,在S3+S5=S4和S1+S7=S4这两个关系式中有一个结论是正确的,请你