求教一道高一几何题已知四面体ABCD中,M、N分别为三角形ABC和三角形ACD的重心,求证:线MN平行于面ABD ,线BD平行于面CMN

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 01:58:41

求教一道高一几何题已知四面体ABCD中,M、N分别为三角形ABC和三角形ACD的重心,求证:线MN平行于面ABD ,线BD平行于面CMN
求教一道高一几何题
已知四面体ABCD中,M、N分别为三角形ABC和三角形ACD的重心,求证:线MN平行于面ABD ,线BD平行于面CMN

求教一道高一几何题已知四面体ABCD中,M、N分别为三角形ABC和三角形ACD的重心,求证:线MN平行于面ABD ,线BD平行于面CMN
证明:
连接CM、CN并延长,分别交AB、AD于P、Q两点,连接PQ、MN,
由于M为ΔABC的重心,则CM=2MP,AP=PB,
同理CN=2NQ,AQ=QD,
∴CN/NQ=CM/MP
∴MN//PQ
∴MN//平面ABD
又∵AP=PB,AQ=QD
∴PQ//BD
∴BD//平面CMN
注:证明直线与平面平行的问题,最主要的方法就是使用课本上给出的判定定理,而使用此定理关键是在目标平面内找到一条与目标直线平行的直线,这条直线一般使用直线与平面平行的性质定理来确定位置.

三角形重心为中线的交点, 取AB,AD的中点E,F,连接EF,
可知 MN平行EF平行BD, 所以 线MN平行于面ABD ,线BD平行于面CMN

连接三条棱的中心点形成一平面,此面与底面平行(重心为中线交点)

证明即可

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