已知数列{an},{bn}前项和An,Bn.A100=8,B100=251,Cn=anBn+bnAn-anbn(n∈N*),则数列{Cn}的前100项和是多少?答案是2008,怎么算的啊?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 12:13:22
已知数列{an},{bn}前项和An,Bn.A100=8,B100=251,Cn=anBn+bnAn-anbn(n∈N*),则数列{Cn}的前100项和是多少?答案是2008,怎么算的啊?
已知数列{an},{bn}前项和An,Bn.A100=8,B100=251,Cn=anBn+bnAn-anbn(n∈N*),则数列{Cn}的前100项和是多少?
答案是2008,怎么算的啊?
已知数列{an},{bn}前项和An,Bn.A100=8,B100=251,Cn=anBn+bnAn-anbn(n∈N*),则数列{Cn}的前100项和是多少?答案是2008,怎么算的啊?
a(n)=A(n)-A(n-1),b(n)=B(n)-B(n-1)
则由:c(n)=a(n)B(n)+b(n)A(n)-a(n)b(n)知:
c(n)=[A(n)-A(n-1)]B(n)+[B(n)-B(n-1)]A(n)-[A(n)-A(n-1)]*[B(n)-B(n-1)]
合并同类项有:
c(n)=A(n)B(n)-A(n-1)B(n-1),n=2,3……
故:又c(1)=a(1)b(1)[由Cn=anBn+bnAn-anbn,令n=1得到]
故c(1)+……+c(n)=A(n)B(n)
所以前100项和=A(100)*B(100)=2008
cn=an(b1+b2+...+bn)+bn(a1+a2+...+an)-anbn
c1=a1b1+b1a1-a1b1=a1b1
c2=a2(b1+b2)+b2(a1+a2)-a2b2=a1b2+a2(b1+b2)+
c3=a3(b1+b2+b3)+b3(a1+a2+a3)-a3b3=a1b3+a2b3+a3(b1+b2+b3)
.....................
全部展开
cn=an(b1+b2+...+bn)+bn(a1+a2+...+an)-anbn
c1=a1b1+b1a1-a1b1=a1b1
c2=a2(b1+b2)+b2(a1+a2)-a2b2=a1b2+a2(b1+b2)+
c3=a3(b1+b2+b3)+b3(a1+a2+a3)-a3b3=a1b3+a2b3+a3(b1+b2+b3)
........................
c100=a100(b1+b2+...+b100)+b100(a1+a2+..+a100)-a100b100
=a1b100+a2b100+...+a99b100+a100(b1+b2+..+b100)
叠加:
c1+c2+...+c100=a1(b1+b2+..+b100)+a2(b1+b2+...+b100)+...+a100(b1+b2+...+b100)=a1B100+a2B100+...a100B100=B100(a1+a2+..+a100)=B100A100=251×8=2008
收起