作业帮求方程xy=x+y的整数解.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 19:32:22
求方程xy=x+y的整数解.
求方程xy=x+y的整数解.
求方程xy=x+y的整数解.
xy=x+y
y(x-1)=x
当x=1时,y=1+y不符,所以x≠1
y=x/(x-1)
y=[(x-1)+1]/(x-1)=1+1/(x-1)
即y=1+1/(x-1)
当x=0时,y=1-1=0
当x=2时,y=1+1=2
x2时,1/(x-1)为真分数,y不为整数
综上:整数解是x=0,y=0和x=2,y=2
xy=x+y
x=x/y+y/y
x=x/y+1
把整数套进去就可以了
若y=1，得x=x+1,不成立，因此y不等于1
移项得：x=y/(y-1)
整数解就要求y/(y-1)为整数
当y>2时，y/(y-1)不是整数，
当y<0时，y/(y-1)不是整数，
因此答案只有y=0,y=2
综上，解为：x=0,y=0
x=2,y=2
显然x=y=0成立
xy≠0时
xy-y=x
y(x-1)=x
y=x/(x-1)
相邻两个整数互质
所以要y是整数则x-1=±1
现在x≠0
所以x=2
y=2
所以
x=0,y=0
x=2,y=2
x=0，y=0成立
x≠0 则
y=1+y/x y也不可能为0
y为x的倍数
设y/x=k，先考虑k>0
y=kx
y=1+k
x=1/k+1
k>1 则 x不可能为整数
0
k<0
同理k只能取-1，此时x=0，y=0前面考虑...
全部展开
x=0，y=0成立
x≠0 则
y=1+y/x y也不可能为0
y为x的倍数
设y/x=k，先考虑k>0
y=kx
y=1+k
x=1/k+1
k>1 则 x不可能为整数
0
k<0
同理k只能取-1，此时x=0，y=0前面考虑过
所以x=0，y=0或者 x=2，y=2
收起
xy=x+y
①当x和y都不等于0时
两边同时除以x得：y=y/x+1 → y-y/x=1
提取y得：y(1-1/x)=1
继续变形：1-1/x=1/y
1/x+1/y=1
由上可知：x=y=2
②当x=0 y=0时，以上等式成立
所以x=0 y=0或x=2 y=2