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三角函数
本章教学目标
1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角,熟练地进行角度制与弧度制的换算.
(2)任意角的三角函数定义,三角函数的符号变化规律,三角函数线的意义.
2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.
(2)已知三角函数值求角.
3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换,理解A、ω、φ的物理意义.
4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.
5.两角和与差的三角函数、倍角公式,能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.
本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.
三角函数是中学数学的重要内容,它是解决生产、科研实际问题的工具,又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础,它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.
核心知识
一、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念,同角三角函数之间的基本关系,正弦、余弦的诱导公式,两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切,正弦、余弦、正切函数的图像和性质,以及已知三角函数值求角.
二、根据生产实际和进一步学习数学的需要,我们引入了任意大小的正、负角的概念,采用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实的集合R这间建立了这样的一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应.采用弧度制时,弧长公式十分简单：l=｜α｜r(l为弧长,r为半径,α为圆弧所对圆心角的弧度数),这就使一些与弧长有关的公式(如扇形面积公式等)得到了简化.
三、在角的概念推广后,我们定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的六种三角函数.它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.
四、同角三角函数的基本关系式是进行三角变换的重要基础之一,它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到,必须熟记,并能熟练运用.
五、掌握了诱导公式以后,就可以把任意角的三角函数化为0°～90°间角的三角函数.
六、以两角和的余弦公式为基础推导得出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,掌握这些公式的内在联系及推导的线索,能够帮助我们理解和记忆这些公式,这也是学好本单元知识的关键.
七、利用正弦线、余弦线可以比较精确地作出正弦函数、余弦函数的图像,可以看出,因长度在一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为零的点)在确定正弦函数、余弦函数图像的形状时起着关键的作用.
学习本章知识,要从两个方面加以注意：一是三角函数的图像及性质,函数图像是函数的一种直观表示方法,它能形象地反映函数的各类基本性质,因此对三个基本三角函数的的图像要掌握,它能帮助你记忆三角函数的性质,此外还要弄清y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx图像的关系,掌握“A”、“ω”、“φ”的确切含义.对于三角函数的性质,要紧扣定义,从定义出发,导出各三角函数的定义域、值域、符号、最值、单调区间、周期性及奇偶性等.二是三角函数式的变换.三角函数式的变换涉及公式较多,掌握这些公式要做到如下几点：一要把握各自的结构特征,由特征促记忆,由特征促联想,由特征促应用；二是要从这些公式的导出过程抓内在联系,抓变化规律,这样才能在选择公式时灵活准确.同时还要善于观察三角函数式在代数结构、函数名称、角的形式等三个方面的差异,根据差异选择公式,根据差异确定变换方向和变换方法.
有关"第四章 三角函数" 的阶段测试】
阶段测试试卷名称：第四章 综合检测 A级
背景说明：
第四章 综合检测 A级
试卷内容：
一、选择题
1.在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x轴对称,则α与β的关系一定是( )
A.α=-β B.α+β=k·360°(k∈Z)
C.α-β=k·360°(k∈Z) D.以上答案都不对
2.圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是( )
A.等于1弧度 B.大于1弧度
C.小于1弧度 D.无法判断
3.在△ABC中,如果sinA+cosA= ,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.已知：sinα+cosα=-1,则tanα+cotα的值是( )
A.1 B.-1 C.0 D.不存在
5.y=cos｜x｜-cosx的值域是( )
A.〔-1,1〕 B.0 C.〔-2,0〕 D.〔0,2〕
6.下列各函数中,奇函数的个数是( )
(1)y=sinx (2)y=cosx
(3)y=tanx (4)y=secx
(5)y=lg(sinx+ )
(6)y=lg(cosx+ )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若y=sin( -α)= ,则y=sin( π+α)的值是( )
A. B.- C. D.-
8.方程sinx=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2个 C.3个 D.3个以上
9.若sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则 的值是( )
A. B.- C.5 D.-5
10.若x=cos36°-cos72°,则x的值为( )
A. B. C. D.-
11.函数y=3sin(2x+ )的图像可以看成把函数y=3sin2x的图像经过下列平移而得到的( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
12.下列四命题中正确的应当是( )
①y=tan恒为增函数；②y=cotx在x∈(-π,0)∪(0,π)上是周期函数；③y=cosx在(-π,π)上为偶函数；④y=sinx在x∈〔- , 〕上为奇函数.
A.① B.①② C.②③ D.④
二、填空题
1.如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称,那么a= .
2.函数y= sin2x-3cos2x的单调递减区间为 .
3.arctan1+arctan2+arctan3的值是 .
4.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为 .
三、解答题
1.设α+β=150°,求sin2α+sin2β- sinαsinβ的值.
2.设x∈(- , ),f(x)= sin(x- )cos( -x)+ sin2(x- ),求f(x)的最大值和最小值.
3.已知sinα和cosα是方程x2-kx+k+1=0的两根,且0＜α＜2π,求k与α的值.
4.设关于sinx的方程sin2x-(a2+2a)sinx+a3+a2=0有实数解,求实数a的范围.
5.设0＜α＜π,0＜β＜π,且cosα+cosβ-cos(α+β)= ,求α,β的值.
6.求函数y= 的值域.
试卷答案：
一、1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.C 12.D
二、1.-1 2.〔kπ+ ,kπ+ π〕(k∈Z) 3.π 4.4π
三、1. 2.x= 时,最大值为 ,x= 时,最小值为- 3.k=-1,α=π或 或 4. ≤a≤1 5.α=β= 6.〔- ,-1〕∪(-1, )
阶段测试试卷名称：第四章 综合检测 AA级
背景说明：
第四章 综合检测 AA级
试卷内容：
一、选择题
1.角的集合M={x｜x= ,k∈Z},N={x｜x= ± ,k∈Z},则M与N的关系是( )
A.M N B.M N C.M=N D.不能确定
2.若集合A=R,B=R,则下列对应f:x→y是A到B的映射的是( )
A.y=tanx B.y=cotx C.y=secx D.y=cosx
3.若θ是第三象限的角,且cos ＜0,那么 是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
4.函数y= 的定义域为( )
A.〔2kπ- ,2kπ+ 〕(k∈Z) B.〔2kπ,2kπ+ 〕(k∈Z)
C.〔2kπ,2kπ+π〕(k∈Z) D.R
5.在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
6.函数y=lgsinx+ 的定义域是( )
A.2kπ＜x≤2kπ+ (k∈Z) B.2kπ≤x≤2kπ+ (k∈Z)
C.2kπ＜x≤2kπ+π(k∈Z) D.2kπ＜x≤2kπ+ (k∈Z)
7.把函数y=sin2x的图像在y轴方向压缩一半,沿y轴正方向平移 个单位,再沿x轴正方向平移 个单位,所得图像的函数表达式是( )
A.y= + sin2(x- ) B.y= sin(2x- )-
C.y= sin2(x- ) D.y= sin2(x+ )
8.已知函数：①f(x)=sinx2;②f(x)=sin2x;③f(x)=tan ;④f(x)= 其中周期函数是( )
A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④
9.设α、β为锐有,则sin(α+β)与sinα+sinβ的值满足关系式( )
A.sin(α+β)＞sinα+sinβ B.sin(α+β)＜sinα+sinβ
C.sin(α+β)=sinα+sinβ D.以上结论都不对
10.已知cosα= ,cos(α+β)= ,且α、β为锐有,那么sinβ的值是( )
A. B. C. D.
11.方程 cos( x+ )=1的解集是( )
A.{x｜x=4kπ,k∈Z} B.{x｜x=4kπ± - ,k∈Z}
C.{x｜x=kπ± - ,k∈Z} D.
12.在区间(0,π)上满足cos5x=cos2x的值的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
1.函数y=arctan 的值域是为 .
2.两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为 .
3.函数y=2｜sin(4x- )｜的最小正周期是 .
4.若sinx+cosx= ,x∈〔0,π〕,那么tanx= .
三、解答题
1.设6sin3β-cos22α=6,求α、β.
2.已知关于x的方程
(2cosθ-1)x2-4x+4cosθ+2=0有两个不相等的正根,且θ为锐角,求θ的范围.
3.设cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 ＜α＜π,0＜β＜ ,求cos(α+β)的值.
4.求函数y=sin2x+9cos2x-8sinxcosx的最值及其相对应的x的值.
5.已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.
(1)在 上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数；
(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?
6.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ= .
(1)求实数m的范围.
(2)当m取最小值时,求sin(α+β)的值.
试卷答案：
一、1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11.D 12.C
二、1.〔arccot ,π-arccot 〕
2. 3. 4.-
三、1.α=kπ± ,β= + ,(k,n∈Z)
2.30°＜θ＜60° 3.- 4.x=kπ- arctan ,(k∈Z)时,ymax=11
x=kπ+ - arctan (k∈Z)时ymin=1
5.(1)f(θ)=2acosθ+2asinθ+2asin(60°-θ)
(2)当θ=15°时,f(θ)max=( + )a
6.(1)m∈〔- , 〕 (2)m=- 时,sin(α+β)=-1

和你讲高考的题型得吗？第一道是三角函数。然后到立体几何，概率```这三道大题拿满OK~然后后面的发挥好点```