在△ABC中,∠C≥60°,证明(a+b)(1/a+1/b+1/c)≥4+1/sin二分之C.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 23:58:59

在△ABC中,∠C≥60°,证明(a+b)(1/a+1/b+1/c)≥4+1/sin二分之C.
在△ABC中,∠C≥60°,证明(a+b)(1/a+1/b+1/c)≥4+1/sin二分之C.

在△ABC中,∠C≥60°,证明(a+b)(1/a+1/b+1/c)≥4+1/sin二分之C.
∵C≧60°,显然有:C<180°,∴30°≦C/2<90°,∴1/2≦sin(C/2)≦1,
∴1/sin(C/2)≧1······①
考虑到:0°<A<180°、0°<B<180°,∴-90°<(A-B)/2<90°,
∴0<cos[(A-B)/2]<1.······②
由①、②,得:cos[(A-B)/2]/sin(C/2)≧1/sin(C/2).······③
在△ABC中,有:0°<A+B<180°,∴0°<(A+B)/2<90°,∴sin[(A+B)/2]>0,
∴由③,得:
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]/{2sin[(A+B)/2]sin(C/2)}≧1/sin(C/2),
∴(sinA+sinB)/[2cos(C/2)sin(C/2)]≧1/sin(C/2),
∴(sinA+sinB)/sinC≧1/sin(C/2).
结合正弦定理,得:(a+b)/c≧1/sin(C/2),∴4+(a+b)/c≧4+1/sin(C/2).······④
显然有:a/b+b/a≧2,∴2+a/b+b/a≧4,∴(1+b/a)+(1+a/b)≧4,
∴(a+b)/a+(a+b)/b≧4,∴(a+b)(1/a+1/b)≧4.······⑤
④+⑤,得:(a+b)(1/a+1/b+1/c)≧4+1/sin(C/2).