求一个微分方程的通解已知y1=xcosx是微分方程x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0的一个解,求其通解--------------------------------------------------------------------------------这个好像是用Liouville公式吧,但是算的时候我求积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 08:59:04
求一个微分方程的通解已知y1=xcosx是微分方程x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0的一个解,求其通解--------------------------------------------------------------------------------这个好像是用Liouville公式吧,但是算的时候我求积
求一个微分方程的通解
已知y1=xcosx是微分方程x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0的一个解,求其通解
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这个好像是用Liouville公式吧,但是算的时候我求积分不会积,
参考答案是y=x(C1cosx+C2sinx)
求一个微分方程的通解已知y1=xcosx是微分方程x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0的一个解,求其通解--------------------------------------------------------------------------------这个好像是用Liouville公式吧,但是算的时候我求积
直接降维呗
y2=y1*u
=xcosx u
y'=(cosx-xsinx)u+xcosxu'
y''=(-sinx-sinx-xcosx)u+(cosx-xsinx)u'+(cosx-xsinx)u'+xcosxu''
代入
x^2y''=x^2(-sinx-sinx-xcosx)u+2x^2(cosx-xsinx)u'+x^3cosxu''
-2xy'=-2x(cosx-xsinx)u-2x^2cosxu'
(x^2+2)y=(x^2+2)xcosx u
相加
-2x^3sinxu'+x^3cosxu''=0
u''-2tanx u'=0
令z=u'
dz/dx=z*2tanx
dz/z=2tanx dx
lnz=-2ln|cosx|+C
z=C/(cosx)^2
u=Ctanx+D
y2=u*xcosx=x(Csinx+Dcosx)