请大神帮忙解一道高三函数题,越快越好谢谢

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 23:39:39

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a=1所以f(x)=x^2/2-2x+lnx
f'(x)=x-2+1/x
所欲证式左端=[(x-2+1/x+2)^n-(x^n-2+1/x^n)]/(2n+1)
=[(x+1/x)^n-x^n+2-1/x^n]/(2n+1)
由于这里打不出组合数,计从m个里无序地选出n个的方法数为(m,n)
由二项式定理
设S=(x+1/x)^n-x^n-1/x^n
=(n,0)x^n+(n,1)x^(n-2)+(n,2)x^(n-4)+...+(n,n-1)x^(2-n)+(n,n)x^(0-n)-x^n-x^(-n)
=(n,1)x^(n-2)+(n,2)x^(n-4)+...+(n,n-1)x^(2-n)
头尾对调加和,根据组合数性质(n,m)=(n,n-m)和均值不等式推导结论a+1/a>=2得
2S=Σ[i=1--(n-1)]{(n,i)*[x^(n-2i)+x^(2i-n)]}>=2Σ[i=1--(n-1)](n,i)
再由二项式定理展开(1+1)^n
可知Σ[i=1--n](n,i)=2^n
故2S=2[2^n-(n,0)-(n,n)]=2(2^n-2)
S=2^n-2
原式左端=(S+2)/(2n+1)=(2^n)/(2n+1)
当n=1时=2/3
当n=2时=4/5
当n=3时=8/7
当n=4时=16/9>3/2
自此之后递增,故得证

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