作业帮已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2,如果任意x0∈[-2,a],存在x1∈[-2,a],使得g(x0)=f(x1),求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 06:31:03
已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2,如果任意x0∈[-2,a],存在x1∈[-2,a],使得g(x0)=f(x1),求实数a的取值范围
已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2,如果任意x0∈[-2,a],存在x1∈[-2,a],使得g(x0)=f(x1),求实数a的取值范围
已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2,如果任意x0∈[-2,a],存在x1∈[-2,a],使得g(x0)=f(x1),求实数a的取值范围
【注：由题设可知,
实数a要满足的条件是：
在区间[-2,a]上,函数g(x)的值域包含于函数f(x)的值域内】
易知,在区间[-2,a]上,函数f(x)=2x+3的值域为[-1, 2a+3]
【1】
当-2≤a≤0时,此时函数g(x)=x²的值域为[a², 4]
由题设应有a²＜4≤2a+3.
∴a≥1/2.与a≤0矛盾.
【2】
当0≤a≤2时,此时函数g(x)的值域为[0,4]
由题设应有4≤2a+3.===>a≥1/2
∴1/2≤a≤2
【3】
当a＞2时,此时函数g(x)的值域为[0,a²]
由题设应有a²≤2a+3===>-1≤a≤3
∴此时2＜a≤3.
综上可得：1/2≤a≤3
因为 g(x0)=f(x1), 所以2x1+3＝x0^2 即：x1＝（x0^2－3）÷2
根据题意 －2 ≤ x1 ≤ a 即 －2 ≤（x0^2－3）÷ 2 ≤ a （1）
但同时根据题意有 －2 ≤ x0 ≤ a （2）
解此联立不等式有 －2 ≤（a^2－3）÷ 2 ≤ a
即： a^2－...
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因为 g(x0)=f(x1), 所以2x1+3＝x0^2 即：x1＝（x0^2－3）÷2
根据题意 －2 ≤ x1 ≤ a 即 －2 ≤（x0^2－3）÷ 2 ≤ a （1）
但同时根据题意有 －2 ≤ x0 ≤ a （2）
解此联立不等式有 －2 ≤（a^2－3）÷ 2 ≤ a
即： a^2－2a－3 ≤ 0 （3）
及 （ a^2－3）÷ 2 ≥ －2 （4）
解（3）得 （a－3）(a+ 1) ≤ 0
a1 ≥ 3 a1 ≤ －1 无交集 舍去
或 a2 ≤ 3 a2 ≥ －1 所以 －1≤ a2 ≤ 3
解（4）得 a^2 ≥ －1 即 a 可以实数范围内取值
所以，a的取值范围为： －1 ≤ a ≤ 3
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