已知OP是∠MON的平分线,点AB分别是射线OM,ON上的点,BC平分∠ABN交射线OP于点C,连接AC.一、求证:∠MAC+∠OCB=90° 二、当∠MON=90°时,过点作AF//ON,交BC于点F,交OC于点E,连接BE,若BE=BF,试探究线段AC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 21:22:25
已知OP是∠MON的平分线,点AB分别是射线OM,ON上的点,BC平分∠ABN交射线OP于点C,连接AC.一、求证:∠MAC+∠OCB=90° 二、当∠MON=90°时,过点作AF//ON,交BC于点F,交OC于点E,连接BE,若BE=BF,试探究线段AC
已知OP是∠MON的平分线,点AB分别是射线OM,ON上的点,BC平分∠ABN交射线OP于点C,连接AC.
一、求证:∠MAC+∠OCB=90° 二、当∠MON=90°时,过点作AF//ON,交BC于点F,交OC于点E,连接BE,若BE=BF,试探究线段AC与AE之间的数量关系,并证明你的结论.
已知OP是∠MON的平分线,点AB分别是射线OM,ON上的点,BC平分∠ABN交射线OP于点C,连接AC.一、求证:∠MAC+∠OCB=90° 二、当∠MON=90°时,过点作AF//ON,交BC于点F,交OC于点E,连接BE,若BE=BF,试探究线段AC
(1)证明:如图(1),作CD⊥OM于D,CG⊥AB于G,CH⊥ON于H,
∵OC平分∠MON,BC平分∠ABN,
∴CD=CH,CG=CH,
∴CD=CG,
∴AC平分∠MAB,
∴∠DAC=∠BAC,∠CDA=∠CGA=90°,
∴∠DCA=∠GCA,
同理∠GCB=∠HCB,
∴∠ACB=1/2∠DCH,∠AOC=1/2∠AOB,
∵∠ODC=∠CHO=90°,
∴∠DCH+∠DOH=180°,
∴∠ACB+∠AOC=90°,
∴∠AOC+∠ACO+∠OCB=90°,
∵∠MAC=∠AOC+∠ACO,
∴∠MAC+∠OCB=90°.
(2)AC=根号5AE,证明如下:
作CD∥ON交OM于D,
∵AF∥ON,
∴∠FBN=∠AFB,
∵BE=BF,
∴∠BFE=∠BEF,
∵∠ABF=∠FBN,
∴∠FEB=∠ABF,
∵∠BFE=∠AFB,
∴△EFB∽△BFA,
∴EF/BF=BF/AF,
∴BF2=EF·FA,
∵AF∥ON,∠AOB=90°,
∴∠OAF+AOB=180°,
∴∠OAF=90°,
∴∠AOC+∠AED=90°,
∵∠ACB+∠AOC=90°,∠AEO=∠CEF,
∴∠ACF=∠CEF,
∵∠APC=∠CFE,
∴△ACF∽△CEF,
∴EF/CF=CF/AF,
∴CF2=EF·AF,
∴CF=BF,
∴AD=AO,
∵∠AOC=45°,
∴△DOC是等腰直角三角形,
∴AD/DC=1/2,
∵AC2=AD2+DC2=5AD2,
∴AC=根号5AD,
∵△OAE是等腰直角三角形,
∴AE=AO=AD,
∴AC=根号5AE.