已知函数f(x)的定义域是(负无穷,0)并(0,正无穷),对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,正无穷)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 19:52:34
已知函数f(x)的定义域是(负无穷,0)并(0,正无穷),对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,正无穷)
已知函数f(x)的定义域是(负无穷,0)并(0,正无穷),对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,正无穷)上是增函数;
(3)试比较f(-5/2)与f(7/4)的大小
已知函数f(x)的定义域是(负无穷,0)并(0,正无穷),对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,正无穷)
证明:令x1=x2=1
代入 f(x1x2)=f(x1)+f(x2) (*)
得到 f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
取x≠0,在(*)中令x1=1/x,x2=x,则
0 = f(1)=f[(1/x)·x]=f(1/x)+f(x)
∴ f(1/x)=-f(x)
下面证明f(x)是偶函数:
显然定义域关于原点对称.以D代表定义域.
任取x∈D,要证明 f(-x)=f(x)
在(*)式中令x1=x2=-1,则
0=f(1)= f[-1·(-1)]=f(-1)+f(-1)
∴ f(-1)=0
当 x=0 时,当然有f(-x)=f(0)=f(x)
任取x≠0,在(*)中令x1=-x,x2=1/x,则
f(-x·1/x)=f(-x)+f(1/x)
即 0=f(-1)=f(-x)-f(x)
∴ f(-x)=f(x)
∴ f(x)是偶函数.