数学数列的基本题型

数学数列的基本题型
数学数列的基本题型

数学数列的基本题型
数 列 摘要：数列问题是一个很有趣的问题,生活中的很多事件,都和数列紧紧的联系在一起,本课题重点研究了等差数列,等差数列的判定,等差数列的性质,等差数列的证明,以及数学证明中常用的方法数学归纳法等.关键词：等差 等差数列 相连项 前n项和 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题,特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中,就记载著相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,也有按级递减分物的等差数列问题.其中有 一个问题大意是： 10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目 .现知第八兄弟分得6两,问相邻两兄弟相差多少?数列是从生活中抽像出来的,日常生活中遇到的许多实际问题,如贷款、利率、折旧、人口增长、放射物的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画,然而在数学这门学科中数列又是如何定义的呢?数列：按一定次序排列的一列数表示方法：1 列举法 ：如数列 , , 2解析法 ：通项公式、递推公式求数列通项的方法：观察归纳法、待定系数法、公式法数列的分类：1 按项数分为有穷数列和无穷数列 2 按范围分为有界数列和无界数列 3 按单调性分为递增数列、递减数列和常数列（摆动数列）我们在日常生活中经常会碰见一些关于数列的问题 1．四年级同学小明觉得自己英语成绩很差,目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个 他决定从今天起每天背记10个单词,那么从今天开始,他的单词量逐日增加,依次为：5,15,25,35,… （问：多少天后他的单词量达到3000?） 2．小李是石河子大学化学系的一名学生,他的英语成绩很棒,他在大二时就过了外语四级,她目前的单词量多达4500 但后来迷上了网络游戏,他打算从今天起不再背单词了,结果不知不觉地每天忘掉30个单词,那么从今天开始,她的单词量逐日递减,依次为：4500,4470,4440,4410,… （问：多少天后她那4500个单词全部忘光?）从上面两例中,我们分别得到两个数列 ① 5,15,25,35,… 和 ② 4500,4470,4440,4410,… 大家仔细观察一下,看看以上两个数列有什么共同特征? ·共同特征：从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等--应指明作差的顺序是后项减前项）,我们给具有这种特征的数列一个名字--等差数列） 1． 等差数列的定义：如果一个数列,从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数,我们把这样的数列叫做等差数列 2． 等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 的首项是 ,公差是d,则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： 等差中项：如过三个数 成等差数列那么中间一项 称为 的等差中项 ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 和公差d,便可求得其通项 下面我们来具体研究等差数列的一些问题 一、 等差数列的判定方法 1． 若数列 从第二项起每一项与前一项的差都为同一个常数d,即： - =d(常数) 则 是等差数列,其公差为d 2．若数列从第二项起,每一项的两倍都等于前一项与后一项的和即： 2 = + 则是等差数列（ 是 与 的等差中项） 3． 若数列 的通项 是项数n的一次多项式或者是常数,即： = (p,q为常数), 则 是等差数列,其首项是 ,公差是 4． 若数列 的前n项和 是项数n的二次项系数为零的二次多项式或一次多项式,即： （k,h为常数）,则 是等差数列,其首项是 ,公差是 5． 若数列 是公差为d的等差数列,k是一个常数,则数列 是公差为kd的等差数列 6．若数列 是公差为d的等差数列,r是一个常数,则数列 也是公差为d的等差数列例1． 判断下列数列 是否为等差数列?如果是写出其公差（1） 的第n项为： （2） 的第n项为： （3） 的第n项和为： （4） 的第n项和为： （1）因为 =5 =5 = 所以 是等差数列,其公差为 （2）因为 = 所以 是项数n的一次多项式,从而 是等差数列,其公差为4.（3）因为 = 所以 是项数n的二次多项式,二次多项式系数是3,常数项为零,因此 是等差数列,其公差d=6 (4) 所以 是项数n的二次多项式,常数项为1,因此 不是等差数列 二 、 等差数列的基本公式及一些简单求法基本公式： （1） = 或者 = = （2） （3） ,特别的 或者 ,特别的 (一) 简单公式求法 利用等差数列的基本公式,解一些关于等差数列的题目,俗话说的好知三求二.例1． 在等差数列 中,已知 , ,求 , , 解法一：∵ , ,则 ∴ 解法二：∵ ∴ 小结：第二通项公式 例2．将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中,设数列的第s项和第t项分别为 和 ,计算 的值,你能发现什么结论?并证明你的结论 通过计算发现 的值恒等于公差证明：设等差数列{ }的首项为 ,末项为 ,公差为d, ⑴-⑵得 小结：①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率（2） 相连项求法如过三个数 成等差数列那么中间一项 称为 的等差中项.若三个数成等差数列时,我们通常设等差中项为a,公差为d,于是这三个数为： ,这样的话它们的和就是一个差与公d无关的数,（只与等差中项a有关）这样通常可以简化运算,同理若四个连续的数成等差数列,我门通常把它们设为： 例1 ,若三个数 成等差数列,且三项和为27,三项的平方和为315,求这个等差数列.解 因为三个数成等差数列,可以设为 ,由假设知 即 得 所以所求的等差数列为：3 9 15 或者 15 9 3 例3 四个数成等差数列,其四个数的平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四数. 设四数为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则根据题意得 即： ∴ 或 故此四数为：8,5,2,-1或1,-2,-5,-8或-1,2,5,8或-8,-5,-2,1 (二) 函数观点解数列问题其实有时候我们完全可以把数列的同项公式,看成一个函数的解析式,从而可以用函数的观点来最数列的最值等.例1． 设等差数列 中前4项的和 ,前12项的和 求：（1） 数列 的前20项的和 与前n项的和 的最小值（2） 数列 的通项公式设 则 解得 因此前项的和的公式为： （1） 又 取 则 的小值. （2）通过比较我们知道,等差数列 的首项 所以 因此通项公式是 ： 三、等差数列的性质（1） 项数之和相同的性质在等差数列 中,项数相同的两项其和都相等,即 特别的当 则 当 则 例1, 设等差数列 有n项,前三项的和为24,后三项的和为60,所有项的和为448,求这个等差数列的项数 解法一,（利用基本公式）设这个等差数列的公差为d,由 于是 解得 n=32 （2） 解法二 （利用项数之和相同的性质）由假设知： , 因为 所以 即： 由于 ,所以 因此 (2)等距同长组的性质若等差数列的公差为d,将这个数列从第一项起划分成项数相同的若干数组（称为相邻同长组）,则各个组内相邻项之和： 也是一个等差数列,其公差为 提醒：（公差为d的等差数列,取出等距离的项构成一个新的数列,此数列仍是等差数列其公差为kd(k 为取出来的项数之差) 例1 已知等差数列 的前n项和为 ,且 , ,试求 . 解法一 因为 , , ,…, , 成等差数列,设公差为d,前10项的和为： ,∴ . ∴前11项的和 . 解法二 设等差数列 的公差为d, 则 , ∴数列 成等差数列. ∴ , 即 . ∴ . 解法三 设等差数列 的公差为d, 则 . 又 , . 由 得 , ∴ . ∴ . 点评 解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系.熟记等差数列的这些性质常可达到简化解题的目的. (3)奇偶项和的性质在等差数列 中,当项数为偶数2n时 则： 当项数为奇数2n-1时 则： 例1． 设等差数列 中,前12项的和 其中偶数项的和与奇数项的和之比 ,求这个等差数列的公差d 解法一（应用基本公式）由假设知 解得 d=5 解法二（应用奇偶项和的性质） 由假设 得 ,所以 ,因此 d=5 点评：第一种方法运用了等差数列的基本公式,这是大家最容易想到的,但是计算量很大,计算过程过与烦琐,而第二种方法巧妙的应用了等差数列中奇偶项和的性质,计算简单明了! (四)、数学归纳法与等差数列的有关证明数学归纳法依据的是自然数的"归纳公理",证明过程为：假设M是自然数集N的子集,如果满足①1∈M.②当k∈M时能推出k＋1∈M,那么M＝N.由归纳公理可以导出数学归纳法原理：设P(n)是与所有自然数n有关的命题 ,如果①P(1)是真命题.②当P(k)是真命题时能推出P(k＋1)也是真命题,那么对于任意自然数n,P(n)都是真命题. 数学归纳法的基本形式：对于与所有自然数有关的命题P(n),如果能：①证明命题P(1)成立.②假设对于任意自然数k,P(k)成立,证明P(k＋1)也成立.则能断言命题P(n)对所有自然数n都成立.根据自然数集的"最小数原理"(即自然数集的每一个非空的子集必有最小数)可以推得数学归纳法的另一种形式(第二数学归纳法)：对于与所有自然数有关的命题P(n),如果能：①证明命题P(1)成立.②假设对于任一自然数k,当1≤n≤k时 P(n)成立,证明P(k＋1)也成立.则能断言对所有自然数n,命题P(n)都成立.例1． 数列｛an｝的前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (1)写出数列｛an｝的前3项； (2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)； (1)由题意,当n=1时有 (a1+2)/2=根号（2S1） S1=a1 ∴(a1+2)/2=根号(2a1) 解得：a1=2. 当n=2时有(a2+2)/2=根号（2*S2）, S2=a1+a2将a1=2代入,整理得 (a2-2)2=16. 由a2＞0,解得 a2=6. 当n=3时有(a3+2)/2=根号（2*S3）, S3=a1+a2+a3将a1=2,a2=6代入,整理得 (a3-2)2=64. 由a3＞0,解得 a3=10. 故该数列的前3项为2,6,10. (2)解:由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2. 下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是 an=4n-2 (n∈N). ①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立. ②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2.由题意,有 (ak+2)/2=根号（2*Sk） 将ak=4k-2代入上式,得 2k=根号（2Sk）,解得Sk=2k2. 由题意,有 [a(k+1)+2]/2=根号[2S(k+1)],S(k+1)=Sk+a(k+1) 将Sk=2k^2代入,得到[a(k+1)+2]^2/4=2[a(k+1)+2k^2] a(k+1)^2-4a(k+1)+4-16k^2=0 由ak+1＞0,解得: ak+1=2+4k. 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2. 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立. （这道题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识和逻辑推理能力 ）（5）、等差数列的有关应用 例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,以后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数.分析：设11月n日这一天新感染者最多,则由题意可知从11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日,每天新感染者构成另一个等差数列.这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数.略由题意,11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列an,a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n-30；从n+1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=-30,bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为： =8670,化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍),即11月12日这一天感染者人数最多,为570人. 例2、八个村庄,每个村庄只和两个村庄相邻,把256吨化肥按下述规则分给它们：每个村庄所得的是它的两邻近村庄所得之和的一半.试证明只有一种分法.设八个村庄的化肥分别为 （吨）,由题意得 , , .故 ； ；……； 均成等差数列,即 , , , .因此,数列 成等差数列.设这个数列公差为 ,因为第9项等于第1项,则 ,所以 .即 是常数列,从而 .因此,化肥仅有一种分法,即每庄各分32吨.例3、食品罐头堆成六角垛（即正六棱锥）：顶层是一个,以下各层都排成正六角形,逐层每边递增一个,设底层外圈每边是 个,求罐头总数.底层罐头除中心一个外,其余各圈成一个公差是6的等差数列,首项为6,末项是 ,则底层总数为 , 于是罐头总数是 （个）（6）、等比数列的有关知识与等差数列,同时而产生的有一种重要的数列,就是等比数列,本课题只做简单介绍,如果您想有更深刻的了解,可以与等差数列对比,自行寻找、研究、查阅资料,相信你会有不凡的收获!（1）、等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示（q≠0）.例如：数列5,25,125,625…就是等比数列,其公比为5. 定义还可以叙述为：在数列{an}中,若 ,则{an}是等比数列.易知q≠0. 是等比数列 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成 ,可让学生研究行不行,好不好；接下来再问,能否改写为 是等比数列 ?为什么不能? 式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系,但能否确定一个等比数列?（不能）确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式. （2）.等比数列的通项公式 ： ①不完全归纳法 . ,… , ,这 个式子相乘得 ,所以 （7）、等比等差数列的综合应用以及一般数列的一些简单证明题例1、求数列前 项之和： 猜想：设此数列前 项之和为 ,由计算,有 ,一般地,得猜想 .证明：设上述猜想为 ,现对 进行归纳证明,（i）当 ＝1时, ,所以 为真；（ii）设 为真,即 ,则 ,这说明 也真.由（i）、（ii）证得 例6、为了保护某珍贵文物古迹,政府决定建一堵大理石护墙.设计时,为了与周边景点协调,对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块,第二层用剩下的一半多一块,第三层…依次类推,到第十层恰好将石块用完,问共需大理石多少块?每层各用大理石多少块?设共需大理石 块,则第一层： ；第二层： ；第三层： ；… ；第十层： ,从而有 即 , .答：共用大理石2046块,各层分别用大理石1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2块.（8）、从数学王子高斯那里学到的 "数学王子"高斯的故事 "老师,我没有胡闹" --"数学王子"高斯的故事 7岁那年,小高斯上小学了.教师名字叫布特纳,是当地小有名气的"数学家".这位来自城市的青年教师,总认为乡下的孩子都是笨蛋,自己的才华无法施展.三年级的一次数学课上,布特纳对孩子们又发了一通脾气,然后,在黑板上写下了一个长长的算式：81297+81495+81693+……+100701+100899=? "哇!这是多少个数相加呀?怎么算呀?"学生们害怕极了,越是紧张越是想不出怎么计算. 布特纳很得意.他知道,像这样后一个数都比前一个数大198的100个数相加,这些调皮的学生即使整个上午都乖乖地计算,也不会算出结果. 不料,不一会儿,小高斯却拿着写有答案的小石板过来了,说："老师,我算完了."布特纳连头都没抬,生气地说："去去,不要胡闹.谁想胡乱写一个数交差,可得小心!"说完,挥动了一下他那铁锤似的拳头. 可是小高斯却坚持不走,说："老师,我没有胡闹."并把小石板轻轻地放在讲台上.布特纳看了一眼,惊讶得说不出话来,没想到,这个10岁的孩子居然这么快就算出了正确的答案. 原来,小高斯不是像其他孩子那样一个数一个数地加,而是细心地观察,动脑筋,找规律.他发现一头一尾两个数依次相加,每次加得的和都是182196,求50个182196的和可以用乘法很快算出.用我们现在的眼光来看的话,其实老师给出的数列就是本课题重点的研究的等差数列,而高斯正是巧妙的运用了等差数列的性质,得到了快速而又准确的答案!等差数列是多么有趣啊! （9）、奇妙的斐波那契数列(美就在你的身边) 中世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci Leonardo [1], 约1170-1250）,其最早、最重要的著作是《算盘书》（1202年完成）,在其1228年的修订本中记载着一个有趣的,并且后来成为非常著名的问题："兔子繁殖问题".该问题是说：兔子在出生两个月后就具有生殖能力.设有一对兔子每个月都生一对兔子,生出来的兔子在出生两个月之后,也每个月生一对兔子.那么,从一对小兔开始,满一年时可以发展到多少对兔子?按照这种规律,可以不难算出,每个月的兔子数构成一个数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… 这一数列被称为斐波那契数列,是由数学家Lukas为纪念斐波那契而建议命名的.该数列从第三项开始,每一项都是其前面两项之和.