作业帮因为1/[K(K+L)]=1/L[1/K-1/(K+L)]当等式左边K取从1到n的n项相加时,n趋向于无穷,等式左边的式子的极限怎么求?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 19:31:32
因为1/[K(K+L)]=1/L[1/K-1/(K+L)]当等式左边K取从1到n的n项相加时,n趋向于无穷,等式左边的式子的极限怎么求?
因为1/[K(K+L)]=1/L[1/K-1/(K+L)]
当等式左边K取从1到n的n项相加时,n趋向于无穷,等式左边的式子的极限怎么求?
因为1/[K(K+L)]=1/L[1/K-1/(K+L)]当等式左边K取从1到n的n项相加时,n趋向于无穷,等式左边的式子的极限怎么求?
那你就展开啊,就等于：(1/L)(1/1-1/(1+L)+1/2-1/(2+L)+1/3-1/(3+L)+...)也就是这样加到无穷,那我们就把加的放到一起,减的放到一起,就是：加的1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...减的就是1/(1+L)+1/(2+L)+1/(3+L)+...这样你就会很容易发现,和是1/1+1/2+...1/L-1/(N+1)-1/(N+2)-...-1`/(N+L)当N到无穷时,减的就趋近于0了,所以,和的极限就是加的那部分就是：1/1+1/2+1/3+...1/L
令S[i]=1/1+1/2+1/3+...+1/i，则
∑1/[K(K+L)] (K=1 to N)
=1/L*∑[1/K-1/(K+L)]
=1/L*[1/1-1/(1+L)+1/2-1/(2+L)+1/3-1/(3+L)+...+1/N-1/(N+L)]
=1/L*[S[N]-(S[N+L]-S[L])]
=1/L*(S[N]-S[N+L...
全部展开
令S[i]=1/1+1/2+1/3+...+1/i，则
∑1/[K(K+L)] (K=1 to N)
=1/L*∑[1/K-1/(K+L)]
=1/L*[1/1-1/(1+L)+1/2-1/(2+L)+1/3-1/(3+L)+...+1/N-1/(N+L)]
=1/L*[S[N]-(S[N+L]-S[L])]
=1/L*(S[N]-S[N+L])+S[L]/L
在N趋近于无穷时，S[N]-S[N+L]=-[1/(N+1)+1/(N+2)+...+1/(N+L)] ，因为是有穷项，所以趋近于0
而L是常数，所以
lim(N→∞){∑1/[K(K+L)] (K=1 to N)}
＝S[L]/L＝(1+1/2+1/3+...+1/L)/L
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