作业帮判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.rtrtrtrt
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 04:07:47
判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.rtrtrtrt
判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.
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判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.rtrtrtrt
楼上的好复杂啊,没有那个必要哟!
f(x)＝x/(x^2-1)＝1/2×[1/(x-1)＋1/(x+1)]
函数y＝1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)内单调减少,
所以1/(x-1),1/(x+1)在(-1,1)内单调减少,
所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少
由定义也可以：
函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上单调递减.
证明：设-1＜a＜b＜1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1＜x＜1∴ ab+1＞0 a^2-1＜0 b-a＜0
∴ (ab+1)(b-a)＞0 (a^2-1)(b^2-1)
＞0
∴f(a)＞f(b) ∵a＜b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间（-1,1）上单调递减.
设-1
=[(x1x2-1)(x2-x1)]/[(x1^2-1)(x2^-1)]
-1
全部展开
设-1
=[(x1x2-1)(x2-x1)]/[(x1^2-1)(x2^-1)]
-1
因此：f(x2)-f(x1)=[(x1x2-1)(x2-x1)]/[(x1^2-1)(x2^-1)]<0
所以：函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上单调递减！
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1）导数
f'(x)=-(x^2+1)/(x^2-1)^2<0，(-1,1)
所以函数f(x)在(-1,1)单调递减。
（2）高中方法
设 -1
=(x1x2^2-x1-x2x1^2+x2)/(x1^2-1)(x2^2-1)
=(x1x2+1)(x2-x1...
全部展开
1）导数
f'(x)=-(x^2+1)/(x^2-1)^2<0，(-1,1)
所以函数f(x)在(-1,1)单调递减。
（2）高中方法
设 -1
=(x1x2^2-x1-x2x1^2+x2)/(x1^2-1)(x2^2-1)
=(x1x2+1)(x2-x1)/(x1^2-1)(x2^2-1)
因为-1
所以f(x1)-f(x2)>0
函数f(x)在（-1,1)上单调递减
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