作业帮函数f(x)=x^3+ax^2+bx的图像c与x轴相切于不同于原点的一点且f(x)的极小值为-4求函数f(x)的解析式及单调区间
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 12:41:54
函数f(x)=x^3+ax^2+bx的图像c与x轴相切于不同于原点的一点且f(x)的极小值为-4求函数f(x)的解析式及单调区间
函数f(x)=x^3+ax^2+bx的图像c与x轴相切于不同于原点的一点且f(x)的极小值为-4求函数f(x)的解析式及单调区间
函数f(x)=x^3+ax^2+bx的图像c与x轴相切于不同于原点的一点且f(x)的极小值为-4求函数f(x)的解析式及单调区间
f( 0 ) = 0
又因为极小值为-4,且与x轴相切,切点不在原点.
所以画图可知,切点在原点左侧,是函数极大值.
f(x)' = 3x^2 + 2ax +b =0 有两个解,一个是切点,极大值(x0,0),另一个是极小值(x1,-4)
x0 3x1+3x0+2a = 0
2x0^2 +ax0 = 0 => 2x0 = -a
2x1^3 + ax1^2 = 4
------------------------消a
x0 = 3x1 =>
2x1^3 - 6x1^3 = 4
x1^3 = -1
x1 = -1
x0 = -3
a = 6
b = 9
综上 f(x) = x^3+6x^2+9x
单调升区间是 负无穷到-3,-1到正无穷
单调降区间是 -3到-1
f(x)的极值点满足：df(x)/dx=3x^2+2ax+b=0（第1式），其中一点位于x轴：x^3+ax^2+bx=0，因x<>0，即有x^2+ax+b=0（第2式），另一点则满足x^3+ax^2+bx=-4（第3式）
联立第1和2式求得4b=a^2，该点x=-a/2
第1式的另外一个根是x=-a/6，代入第3式可求得a=6，从而b=9
所以f(x)=x^3+6x^2+9...
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f(x)的极值点满足：df(x)/dx=3x^2+2ax+b=0（第1式），其中一点位于x轴：x^3+ax^2+bx=0，因x<>0，即有x^2+ax+b=0（第2式），另一点则满足x^3+ax^2+bx=-4（第3式）
联立第1和2式求得4b=a^2，该点x=-a/2
第1式的另外一个根是x=-a/6，代入第3式可求得a=6，从而b=9
所以f(x)=x^3+6x^2+9x
其单调区间分别是：
x<=-3（单调增），-3<=x<=-1（单调减）以及x>=-1（单调增）
收起
9 x + 6 x^2 + x^3