如图,在△ABC中,D为BC中点,M,N分别为AB,AC上的一点,∠MDN=90°.若MD²+ND²=BM²+CN².证明AD²=1/4(AB²+AC²)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 03:29:37
如图,在△ABC中,D为BC中点,M,N分别为AB,AC上的一点,∠MDN=90°.若MD²+ND²=BM²+CN².证明AD²=1/4(AB²+AC²)
如图,在△ABC中,D为BC中点,M,N分别为AB,AC上的一点,∠MDN=90°.若MD²+ND²=BM²+CN².证明AD²=1/4(AB²+AC²)
如图,在△ABC中,D为BC中点,M,N分别为AB,AC上的一点,∠MDN=90°.若MD²+ND²=BM²+CN².证明AD²=1/4(AB²+AC²)
延长MD到K,使MD=DK,连接AD,NK,CK
∵D为BC中点,∠MDB=∠CDK
∴⊿BMD≌⊿DKC
∴∠MBD=∠DCK,BM=KC
∵∠MDN=90°,MD²+ND²=BM²+CN²=DK²+ND²=NC²+CK²
∴∠NCK=90º(勾股定理)
∴∠NCD和∠KCN互余
∵∠MBD=∠DCK
∴∠B+∠ACB=90º
∴∠BAC=90º
又∵,D为BC中点,
∴AD=1/2BC
∴AD²=1/4BC²
又∵AB²+AC²=BC²
∴AD²=1/4(AB²+AC²)
图呢图呢图呢图呢
首先明确一个定理,平行四边形四边的平方和=两条对角线的平方和。所以因为D为BC中点,题目所需证的 AD²=1/4(AB²+AC²)实际上是在要求证明AB⊥AC(如果这点不懂,可以追问,下面的证明基于这点之上) 连接MN,点O为MN中点。连接OD,过点O作OE//MB 且OE=MB,过点O作OF//NC 且OF=NC,连接BE、ED、DF、FC。作完图就如图所示了。 ∵MB//OE,MO=OE ∴四边形MOEB为平行四边形,同理四边形OFCN为平行四边形。 ∴MO//BE,MO=BE,ON//FC,ON=FC。 ∵MO//BE ∴∠AMN=∠ABE ∵ON//FC ∴∠ANM=∠ACF ∵∠AMN+∠ANM=180°-∠A=∠ABC+∠ACB ∴∠ABC-∠AMN=∠ANM-∠ACB ∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC-∠AMN=∠ANM-∠ACB=∠ACF-∠ACB=∠DCF ∵点D为BC中点,∴BD=DC, ∵点O为MN中点,∴ON=OM ∵在三角形BED与三角形CFD中,BE=OM=ON=CF,BD=CD,∠EDB=∠FDC ∴△BED≌△CFD ∴ED=DF 且∵∠EDB=∠FDC ∴E、D、F三点共线,即D点为EF中点 由于OE²+OF²=BM²+CN²=MD²+ND²=2OD² 而在△OEF中点O为EF中点,所以△OEF为直角三角形,即OE⊥OF,∴MB⊥NC ∴AB⊥AC 又∵点D为△BC边上的中点 ∴AD²=1/4(AB²+AC²)得证。
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