8.曲线y=x½在点P(M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为是Y=X的2分之1次方急用 谢谢 解答详细有追加
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 11:45:27
8.曲线y=x½在点P(M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为是Y=X的2分之1次方急用 谢谢 解答详细有追加
8.曲线y=x½在点P(M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为
是Y=X的2分之1次方
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8.曲线y=x½在点P(M,N)(0≦M≦1)出的切线与X=0,X=1以及X轴围成图形面积的最小值为是Y=X的2分之1次方急用 谢谢 解答详细有追加
因为切点P的坐标为(m,sqrt(m))(注:表数字的字母最好小写)
则切线斜率为1/[2 sqrt(m)](用导数较快,用判别式了也行),
切线方程为 y - sqrt(m) =1/(2 sqrt(m))(x-m).
令x=0,得y1=sqrt(m)/2,令x=1,得y2=sqrt(m)/2+1/[2sqrt(m)]
所围图形(直角梯形)的面积S = 1/2 × (y1+y2) ×1
= 1/2×{sqrt(m)+1/[2sqrt(m)]}≥sqrt(2)/2,
当且仅当sqrt(m)=1/[2sqrt(m)],即m=1/2时,所求面积的最小值为sqrt(2)/2(即2分之根号2).
p点是不是在曲线上?如果不在比较麻烦,切线可以是一条也可以是两条,找最小的。以下答案是p点在曲线上,较普遍。最终结果在与不在曲线上的比较,取最小即可
∵Y=X½可得,图像在 第一象限
∴切线斜率为正,设为k
又∵已知p(M,N)在
则切线方程为y-N=k(x-M)
联立Y=X½
y-N=k(x-M)
与x=0交点(...
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p点是不是在曲线上?如果不在比较麻烦,切线可以是一条也可以是两条,找最小的。以下答案是p点在曲线上,较普遍。最终结果在与不在曲线上的比较,取最小即可
∵Y=X½可得,图像在 第一象限
∴切线斜率为正,设为k
又∵已知p(M,N)在
则切线方程为y-N=k(x-M)
联立Y=X½
y-N=k(x-M)
与x=0交点(0,N-kM)
与x=1交点(1,N-kM+k)
梯形面积通式s=½(N-kM+N-kM+k)
解得s=N+½(1-2M)×k
s最小,则k最小
当p(1,1)点时,即k=0时
s=N
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设p点坐标为(x0,sqrt(x0))
则切线斜率为1/(2 sqrt(x0)),切线方程为 y - sqrt(x0) =1/(2 sqrt(x0)) × (x-x0)
切线与y轴交于点(0,1/2 sqrt(x0) ) , 与 直线 x=1交点为 (1,1/2 sqrt(x0) +1/(2 sqrt(x0) )
所围图形(梯形)面积 S(x0) = 1/2 ×...
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设p点坐标为(x0,sqrt(x0))
则切线斜率为1/(2 sqrt(x0)),切线方程为 y - sqrt(x0) =1/(2 sqrt(x0)) × (x-x0)
切线与y轴交于点(0,1/2 sqrt(x0) ) , 与 直线 x=1交点为 (1,1/2 sqrt(x0) +1/(2 sqrt(x0) )
所围图形(梯形)面积 S(x0) = 1/2 ×( 1/2 sqrt(x0) + 1/2 sqrt(x0) +1/(2 sqrt(x0) ) ×1
=1/2 ×( sqrt(x0) + 1/(2 sqrt(x0) )
≥1/2 ×2×sqrt【sqrt(x0) ×1/(2 sqrt(x0)】
= sqrt(2)/ 2
等号成立当且仅当sqrt(x0) =1/(2 sqrt(x0) ) 即 x0=1/2 时 面积达到最小:sqrt(2)/ 2
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