作业帮已知数列{an}中.a1=1,n大于等于2时.其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2).求证：数列{1/Sn}是等差数列.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 22:37:08
已知数列{an}中.a1=1,n大于等于2时.其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2).求证：数列{1/Sn}是等差数列.
已知数列{an}中.a1=1,n大于等于2时.其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2).求证：数列{1/Sn}是等差数列.
已知数列{an}中.a1=1,n大于等于2时.其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2).求证：数列{1/Sn}是等差数列.
由Sn^2=an(Sn-1/2),两边同时除以Sn,拆开括号,得到Sn=an-an/2Sn,移项,an-Sn=an/2Sn,两边同时除以an,乘以2,得到2(an-Sn)/an=1/Sn,
那么1/(Sn-1)=2[(an-1)-(Sn-1)]/(an-1),第一个减第二个,得到1/Sn-1/(Sn-1)=2｛an(Sn-1)-(an-1)Sn}/an(an-1),将Sn=(Sn-1 )+an代入,替换Sn,化简得到1/Sn-1/(Sn-1)=2,所以是公差为2的等差数列.
n和n-1项有点乱.看小心点吧o(︶︿︶)o
证明：因为an=Sn-S(n-1)
所以有Sn^2=an*(Sn-1/2)=[(Sn-S(n-1)](Sn-1/2) //n,(n-1)均为下标顺序字母//
Sn^2=Sn^2-Sn/2-S(n-1)*Sn+S(n-1)/2
化简后为 2Sn*S(n-1)=S(n-1)-Sn
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证明：因为an=Sn-S(n-1)
所以有Sn^2=an*(Sn-1/2)=[(Sn-S(n-1)](Sn-1/2) //n,(n-1)均为下标顺序字母//
Sn^2=Sn^2-Sn/2-S(n-1)*Sn+S(n-1)/2
化简后为 2Sn*S(n-1)=S(n-1)-Sn
两边同除以Sn*S(n-1) 有
2=1/Sn-1/S(n-1)
所以{1/Sn}为公差等于2的等差数列。
收起
bn=1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=1/2{1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=1/2[1-1/(2n+1)]
=1/2-1/(4n+2)
裂项相消