作业帮直线Y=KX-1与双曲线X^-Y^=1交A,B两点,另一直线l过点P(-2,0)及AB中点Q,求直线在Y轴上的截距b的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 16:30:48
直线Y=KX-1与双曲线X^-Y^=1交A,B两点,另一直线l过点P(-2,0)及AB中点Q,求直线在Y轴上的截距b的范围
直线Y=KX-1与双曲线X^-Y^=1交A,B两点,另一直线l过点P(-2,0)及AB中点Q,求直线在Y轴上的截距b的范围
直线Y=KX-1与双曲线X^-Y^=1交A,B两点,另一直线l过点P(-2,0)及AB中点Q,求直线在Y轴上的截距b的范围
认真写起来还真麻烦,请耐心看吧,我也不知道我有没有算错：
联立y = kx - 1
x^2 - y^2 = 1
消去y得x^2 - (kx - 1)^2 = 1,
即(1 - k^2)x^2 + 2kx - 3 = 0.
由于直线与双曲线有两个交点,故 1 - k^2 ≠ 0.
且Δ = 4k^2 + 12(1 - k^2) > 0,解得k^2 < 3/2且k^2≠1.
设A、B坐标为(x1, y1)(x2, y2).
则x1,x2为上述二次方程的两根,
x1 + x2 = - 2k / (1 - k^2) = 2k / (k^2 - 1).
设Q为(x0, y0).
则x0 = (x1 + x2) / 2 = k / (k^2 - 1).
y0 = kx0 - 1 = k^2 / (k^2 - 1) - 1
= 1 / (k^2 - 1).
直线PQ的方程为y - y0 = [(y0 - 0)/(x0 + 2)](x - x0)
整理得y = x / (2k^2 + 2k - 2) + 1/(k^2 + k - 1)
令x = 0, 得截距b = 1/(k^2 + k - 1).
设f(k) = k^2 + k - 1,则f(k) = (k + 1/2)^2 - 5/4.
f(k)在(-∞,-1/2)上递减,在(-1/2,+∞)上递增.
当k∈(-√(3/2), -1)∪(-1, 1)∪(1,√(3/2))时,
f(k)值域为(-5/4,1)∪(1,(√6 + 1)/2),
故b的取值范围为(-∞, -4/5)∪(2(√6 - 1)/5, 1)∪(1, +∞).