作业帮高数题求指导
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 07:20:37
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P(x)的根全是实根, 可设P(x) = a(x-x[1])(x-x[2])...(x-x[n]), 其中x[1] ≤ x[2] ≤...≤ x[n].
若x[i] < x[i+1],
由P(x)在[x[i],x[i+1]]连续, 在(x[i],x[i+1])可导, 且P(x[i]) = P(x[i+1]) = 0,
根据Rolle定理, 存在ξ[i] ∈ (x[i],x[...
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P(x)的根全是实根, 可设P(x) = a(x-x[1])(x-x[2])...(x-x[n]), 其中x[1] ≤ x[2] ≤...≤ x[n].
若x[i] < x[i+1],
由P(x)在[x[i],x[i+1]]连续, 在(x[i],x[i+1])可导, 且P(x[i]) = P(x[i+1]) = 0,
根据Rolle定理, 存在ξ[i] ∈ (x[i],x[i+1])使得P'(ξ[i]) = 0.
即P'(x)在P(x)的两个相邻不等实根之间有根.
若x[i] = x[i+1], 即x[i]是P(x)的重根.
设x[i]是k重根, 则P(x)可分解为(x-x[i])^k·Q(x), 其中Q(x)为多项式并满足Q(x[i]) ≠ 0.
P'(x) = k(x-x[i])^(k-1)·Q(x)+(x-x[i])^k·Q'(x) = (x-x[i])^(k-1)·(kQ(x)+(x-x[i])Q'(x)).
可知x[i]是P'(x)的k-1重根.
综合两种情况, 在P(x)的n个实根之间, 可以找到P'(x)的n-1个实根.
而P'(x)的次数为n-1, 因此P'(x)的根全是实根, 且分布在P(x)的实根之间.
进而P"(x)的根全是实根, 且分布在P'(x)的实根之间, 依此类推...
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