数学二次函数所有整数值问题

数学二次函数所有整数值问题
数学二次函数所有整数值问题

数学二次函数所有整数值问题
(1)x∈[n,n+1],f(x)∈[n^2+n,n^2+3n+2],
而f(x)是连续的(没有断点),于是f(x)可以遍取[n^2+n,n^2+3n+2]内的整数
∴d(n)=n^2+3n+2-(n^2+n)+1=2n+3.
(2)用a[n]表示第n项
a[n]=(2n^3+3n^2)/d(n)=n^2
当n=2k-1,k∈N时:
S[n]=S[2k-1]=(1-2^2)+(3^2-4^2)+…+[(2k-3)^2-(2k-2)^2]+(2k-1)^2
=(2k-1)^2-(3+7+…+(4k-5))
=(2k-1)^2-(2k-1)(k-1)/2 (考虑到n=2k-1)
=n^2-n(n-1)/2
=(n^2+n)/2
当n=2k,k∈N时:
S[n]=S[2k]=(1-2^2)+(3^2-4^2)+…+[(2k-1)^2-(2k)^2]
=-(3+7+…+（4k-1)]
=-(n^2+n)/2
∴S[n]=[(-1)^(n-1)]*(n^2+n)/2.
(3)b[n]=(2n+3)/2^n
T[n]=5/2+7/4+…+(2n+3)/2^n
2T[n]=5+7/2+…+(2n+3)/2^(n-1)
两式相减：
T[n]=5+2[1/2+1/4+…+1/2^(n-1)]-(2n+3)/2^n
=7-(2n+7)/2^n
当n→∞,T[n]→7(可用极限定义证明)
显然：T[n]≤7,于是:L最小为7.

f(n)=n^2+n
f(n+1)=(n+1)^2+n+1=n^2+3n+2
这两个都是整数
f(n+1)-f(n)=2n+2
所以，dn=2n+3 （因为[n,n+1]是个闭区间，所以会多一个）
an=(2n^3+3n^2)/(2n+3)=n^2
Sn=1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)n^2
n为偶数时
Sn...

全部展开

f(n)=n^2+n
f(n+1)=(n+1)^2+n+1=n^2+3n+2
这两个都是整数
f(n+1)-f(n)=2n+2
所以，dn=2n+3 （因为[n,n+1]是个闭区间，所以会多一个）
an=(2n^3+3n^2)/(2n+3)=n^2
Sn=1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)n^2
n为偶数时
Sn=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+...+(n-1-n)(n-1+n)
=-(1+2)-(3+4)-...-(n-1+n)=-(1+2+3+4+...+n)=-n(n+1)/2=-n^2/2-n/2
n为奇数时
Sn=-(1+2+3+4+...+n-1)+n^2=-n(n-1)/2+n^2=n^2/2+n/2
所以，Sn=(-1)^(n-1)(n^2+n)/2 （别看错了，是：-1的n-1次方再乘以(n^2+n)/2）
bn=(2n+3)/2^n=[2(n-1)+3]/2^(n-1)-(2n+3)/2^n+4/2^n
所以，
b(n)=b(n-1)-b(n)+1/2^(n-2)
b(n-1)=b(n-2)-b(n-1)+1/2^(n-3)
......
b(3)=b(2)-b(3)+1/2
b(2)=b(1)-b(2)+1
b(1)=b(0)-b(1)+2
定义：b(0)=(2*0+3)/2^0=3
所以，
Tn=b(0)-b(n)+4-(1/2)^n （后面一项是等比数列之和）
Tn=7-(1/2)^n-(2n+3)/2^n
再简单地求出Tn的极限为7
所以TnL的最小值就是7

收起

f(n)=n^2+n
f(n+1)=(n+1)^2+n+1=n^2+3n+2
这两个都是整数
f(n+1)-f(n)=2n+2
所以，dn=2n+3 （因为[n,n+1]是个闭区间，所以会多一个）
an=(2n^3+3n^2)/(2n+3)=n^2
Sn=1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)n^2
n为偶数时
Sn...

全部展开

f(n)=n^2+n
f(n+1)=(n+1)^2+n+1=n^2+3n+2
这两个都是整数
f(n+1)-f(n)=2n+2
所以，dn=2n+3 （因为[n,n+1]是个闭区间，所以会多一个）
an=(2n^3+3n^2)/(2n+3)=n^2
Sn=1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)n^2
n为偶数时
Sn=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+...+(n-1-n)(n-1+n)
=-(1+2)-(3+4)-...-(n-1+n)=-(1+2+3+4+...+n)=-n(n+1)/2=-n^2/2-n/2
n为奇数时
Sn=-(1+2+3+4+...+n-1)+n^2=-n(n-1)/2+n^2=n^2/2+n/2
所以，Sn=(-1)^(n-1)(n^2+n)/2 （别看错了，是：-1的n-1次方再乘以(n^2+n)/2）
bn=(2n+3)/2^n=[2(n-1)+3]/2^(n-1)-(2n+3)/2^n+4/2^n
所以，
b(n)=b(n-1)-b(n)+1/2^(n-2)
b(n-1)=b(n-2)-b(n-1)+1/2^(n-3)
......
b(3)=b(2)-b(3)+1/2
b(2)=b(1)-b(2)+1
b(1)=b(0)-b(1)+2
定义：b(0)=(2*0+3)/2^0=3
所以，
Tn=b(0)-b(n)+4-(1/2)^n （后面一项是等比数列之和）
Tn=7-(1/2)^n-(2n+3)/2^n
再简单地求出Tn的极限为7
所以TnL的最小值就是7
肯定正确。。。前几天，我的老师讲过

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