作业帮求一阶微分方程通解1.（1+x）y'=2e^(-y) -1;2.1+y'=e^y
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 05:56:06
求一阶微分方程通解1.（1+x）y'=2e^(-y) -1;2.1+y'=e^y
求一阶微分方程通解
1.（1+x）y'=2e^(-y) -1;
2.1+y'=e^y
求一阶微分方程通解1.（1+x）y'=2e^(-y) -1;2.1+y'=e^y
①（1+x）y'=2e^(-y) -1
则(1+x)dy/dx=2e^(-y) -1
dy/[2e^(-y) -1]=dx/(1+x)
两边积分得∫dy/[2e^(-y) -1]=∫dx/(1+x)
令e^(-y)=t,y=-lnt
∫dy/[2e^(-y) -1]
=-∫1/t(2t-1)dt
=-2∫(1/(2t-1)-1/2t)dt
=-∫1/(2t-1)d(2t-1)+∫1/2td2t
=ln|2t/(2t-1)|
=ln|2e^(-y)/[2e^(-y)-1]|+C1
=ln|2/(2-e^y)|+C1
∫dx/(1+x)
=ln|1+x|+C2
则ln|2/(2-e^y)|+C1=ln|1+x|+C2
ln|(2-e^y)(1+x)|=C1+ln2-C2
(2-e^y)(1+x)=±e^(C1+ln2-C2)=C
2-e^y=C(1+x)
②1+y'=e^y
1+dy/dx=e^y
dy/(e^y-1)=dx
两边积分得∫dy/(e^y-1)=∫dx
令e^y=t,得
∫1/(t-1)dlnt=∫dx
∫[1/(t-1)-1/t]dt=x
ln|(t-1)/t|=x+C1
ln|(e^y-1)/e^y|=x+C1
(e^y-1)/e^y=±e^(x+C1)=Ce^x
1-1/e^y=Ce^x
1。令z=2e^(-y)-1, 则：z'= -2e^(-y)y'
= -(z+1)*z/(1+x)
=dz/dx
于是：dx/(1+x)=dz(1/(z+1)-1/z)
则：C+ln(1+...
全部展开
1。令z=2e^(-y)-1, 则：z'= -2e^(-y)y'
= -(z+1)*z/(1+x)
=dz/dx
于是：dx/(1+x)=dz(1/(z+1)-1/z)
则：C+ln(1+x)=ln(1+z)-lnz
得：1+1/z=C(1+x)
即：2e^(-y)-1=z
=1/(Cx+C-1)
得：y=ln2+ln(Cx+C-1)-ln(Cx+C), 其中，C是任意常数。
2。令y'=z, 则：z'=e^yy'=(z+1)z
于是：dx=(1/z-1/(z+1))dz
则：x+c=ln(z/(z+1))
得：e^y-1=z=1/(ce^(-x)-1)
于是：y=ln(ce^(-x))-ln(ce^(-x)-1), 其中，c是任意常数。
收起
1. （1+x)dy/dx=2e^(-y)-1 dy/[2e^(-y)-1] =dx/(1+x)
dy *e^y/(e^y-2) =ln|1+x|+c
-ln|e^y-2|=ln|1+x)+c c为常数
2.1+dy/dx=e^y dy/(e^y-1)=dx
dy*e^y/[e^y*(e^y-1)]=dx
y-ln|e^y-1|=x+c c为常数