求证幂函数y=x^3在R上位奇函数且为增函数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 17:28:31
求证幂函数y=x^3在R上位奇函数且为增函数
求证幂函数y=x^3在R上位奇函数且为增函数
求证幂函数y=x^3在R上位奇函数且为增函数
f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x) 所以为奇函数
设x2>x1
f(x2)-f(x1)=x263-x1^3=(x2-x1)(x2^2+x2*x1+x1^2)>0
所以f(x2)>f(x1)
所以为增函数
令f(x)=x^3
f(-x)=-x^3=-f(x)
所以f(x)为奇函数
令x2>x1 x1,x2∈R
那么f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3=(x2-x1)(x2^2+x1^2+x1x2)
=(x2-x1)[(x1+ x2/2)^2+3x^2/4]
因为x2-x1>0 (x1+ x2/2)^2+3x^2/4>0
所以f(x2)-f(x1)>0 即f(x2)>f(x1)
所以f(x)在在R上为增函数
设 f(x)=x^3
则 f(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-f(x)
根据 奇函数 定义 -f(x)=f(-x) 所以 y=x^3为奇函数
对 y=x^3求导 y'=3x^2 因为 y'在R上恒有 y'>=0 所以 y=x^3在R上为增函数。
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