已知点A(3,1),M和N分别在直线x-y=0和y=0上,使三角形AMN的周长最短,求点M、N的坐标
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/13 04:40:13
已知点A(3,1),M和N分别在直线x-y=0和y=0上,使三角形AMN的周长最短,求点M、N的坐标
已知点A(3,1),M和N分别在直线x-y=0和y=0上,使三角形AMN的周长最短,求点M、N的坐标
已知点A(3,1),M和N分别在直线x-y=0和y=0上,使三角形AMN的周长最短,求点M、N的坐标
提示:
对A做直线x-y=0对称点C,对直线y=0做B
连接CB交直线x-y=0和y=0分别为M、N
由两点间线段最短可证此时三角形AMN的周长最短
也可求出M,N坐标
分别做点A关于直线x-y=0和y=0的对称点 得到点B和点C
连接点BC 与x-y=o和y=0相交 两交点就是所求的M,N点
利用对称性:
找到A关于两直线的对称点A1(1.3),A2(3,-1),链接A1,A2,与两直线交点就是所求,可以求得是(5/3,5/3)和(5/2,0)
下面是证明:
在两直线上随便取两点M1,N1,由对称性知:AM1=A1M1,AN1=A2N1,这样三角形周长为A1M1+A2N1+M1N1>= A1A2,等号仅当四点共线时成立,此时为上面所求的结果...
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利用对称性:
找到A关于两直线的对称点A1(1.3),A2(3,-1),链接A1,A2,与两直线交点就是所求,可以求得是(5/3,5/3)和(5/2,0)
下面是证明:
在两直线上随便取两点M1,N1,由对称性知:AM1=A1M1,AN1=A2N1,这样三角形周长为A1M1+A2N1+M1N1>= A1A2,等号仅当四点共线时成立,此时为上面所求的结果
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关于y=x作三角形AMN的镜像A'MN'
那么三角形的周长等于AM+MN'+N'A'
再作A'关于Y轴的镜像点B(-1,3)
那么三角形的周长即为AM+MN'+N'B
根据两点之间线段最短的原理,AM+MN'+N'B的最小值应是AB
因为A(3,1),B(-1,3),由两点式可得AB的方程:y= -x/2+5/2
该方程与Y轴的交点N'为(0,5/2...
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关于y=x作三角形AMN的镜像A'MN'
那么三角形的周长等于AM+MN'+N'A'
再作A'关于Y轴的镜像点B(-1,3)
那么三角形的周长即为AM+MN'+N'B
根据两点之间线段最短的原理,AM+MN'+N'B的最小值应是AB
因为A(3,1),B(-1,3),由两点式可得AB的方程:y= -x/2+5/2
该方程与Y轴的交点N'为(0,5/2),与y=x的交点为M(5/3,5/3)
因此M(5/3,5/3),N(5/2,0).
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