对于任意正整数n,存在一个可以被5^n整除的n位正整数,它的每一位上的数字都是奇数美国竞赛题求证

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 09:33:05

对于任意正整数n,存在一个可以被5^n整除的n位正整数,它的每一位上的数字都是奇数美国竞赛题求证
对于任意正整数n,存在一个可以被5^n整除的n位正整数,它的每一位上的数字都是奇数
美国竞赛题求证

对于任意正整数n,存在一个可以被5^n整除的n位正整数,它的每一位上的数字都是奇数美国竞赛题求证
5^n|n位正整数（各数字为奇数）,按题意n任意给定.
例取n=3 　　125　 250 　---375--- 　625　750　875 000　
n=1时,取.5
n=2时,取.75
n=3时,取375　　--------发现尾数往前逐渐加奇数,这就是思路了
n=4时,取（x375）=x*8*125+125*3=m*625
　　　　　　　　　8x+3=5m,从x取遍1　3　5　7　9,
　　　　　　　　　等式左边取遍5的完全剩余系,必有一个是5倍数,满足要求.
n=k时,设有（akak-1.a2a1)满足要求（都是奇数）,则（akak-1.a2a1)=M*5^k
n=k+1时,取（B akak-1.a2a1),则
　　　　　　（B akak-1.a2a1),＝B*10^k　+M*5^k =C*5^(k+1)
B*2^k +M =C*5
B取遍1　3　5　7　9,　等式左边取遍5的完全剩余系,必有一个是5的倍数.设其为ak+1,即有（ak+1 akak-1.a2a1),满足要求.
归纳法,得出所有n都可以满足,命题成立.

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