作业帮一道高一数学立体几何题直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4 AB=3,AC=4,角BAC=90度,D是线段B1C1中点,P是侧棱BB1上的点,且AP垂直BD,求二面角P-AC-B的正切.请自己画图.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 19:34:29
一道高一数学立体几何题直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4 AB=3,AC=4,角BAC=90度,D是线段B1C1中点,P是侧棱BB1上的点,且AP垂直BD,求二面角P-AC-B的正切.请自己画图.
一道高一数学立体几何题
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4 AB=3,AC=4,角BAC=90度,D是线段B1C1中点,P是侧棱BB1上的点,且AP垂直BD,求二面角P-AC-B的正切.请自己画图.
一道高一数学立体几何题直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4 AB=3,AC=4,角BAC=90度,D是线段B1C1中点,P是侧棱BB1上的点,且AP垂直BD,求二面角P-AC-B的正切.请自己画图.
27/100
这里不方便给你详细的解答过程,我按这样说看你懂起不：
因为角BAC=90度,即AB⊥AC,而直三棱柱有AA1⊥AC,所以AC⊥面ABB1A1,于是AC⊥AP,故所求二面角即为角BAP,tan∠PAB=PB/AB=PB/3,故下面只需求PB的长度,设为x
过B作AP的平行线与A1A的延长线交于点E,连接DE、A1D,则AE=PB=x,且△DBE为直角△（因为BD⊥BE）,△DEA1也为直角△,于是A1E^2+A1D^2=BE^2+BD^2,我相信计算出A1E、A1D、BE、BD应该是很容易的（A1E、BE含有x）,从而得出一个方程,求解可得PB=x=81/100（你自己再解下看是不是这么多）,再由tan∠PAB=PB/AB=PB/3就得到结果了~
以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建系
则B（3,0,0），C（0,4,0）
设B1（3,0,z), C1(0,4,z)，P(3,y,0)
则D(3/2, 2,z)
BD=(-3/2, 2,z),AP=(3,y,0)
因为BD垂直AP
所以：-9/2+2y=0, y=9/4
即：BP＝9/4
因角PAB是二面角P-AC-B的平面角...
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以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建系
则B（3,0,0），C（0,4,0）
设B1（3,0,z), C1(0,4,z)，P(3,y,0)
则D(3/2, 2,z)
BD=(-3/2, 2,z),AP=(3,y,0)
因为BD垂直AP
所以：-9/2+2y=0, y=9/4
即：BP＝9/4
因角PAB是二面角P-AC-B的平面角
BP＝9/4, AB=3
所以 tan(角PAB）＝BP/AB=3/4
收起
取A1B1的中点E， 连接DE、BE
则DE//A1C1，即DE⊥面AA1B1B
所以 DE⊥AP，又BD⊥AP
所以AP⊥面BDE
所以AP⊥BE
在面AA1B1B中，可推得BB1＝AB＝3
因角PAB是二面角P-AC-B的平面角
BP＝3/2, AB=3
所以 tan(角PAB）＝BP/AB=1/2
回答...
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取A1B1的中点E， 连接DE、BE
则DE//A1C1，即DE⊥面AA1B1B
所以 DE⊥AP，又BD⊥AP
所以AP⊥面BDE
所以AP⊥BE
在面AA1B1B中，可推得BB1＝AB＝3
因角PAB是二面角P-AC-B的平面角
BP＝3/2, AB=3
所以 tan(角PAB）＝BP/AB=1/2
回答者： liu30003000 - 首席运营官 十二级 4-26 13:38
27/100
这里不方便给你详细的解答过程，我按这样说看你懂起不：
因为角BAC=90度，即AB⊥AC,而直三棱柱有AA1⊥AC，所以AC⊥面ABB1A1，于是AC⊥AP，故所求二面角即为角BAP，tan∠PAB=PB/AB=PB/3，故下面只需求PB的长度，设为x
过B作AP的平行线与A1A的延长线交于点E，连接DE、A1D，则AE=PB=x，且△DBE为直角△（因为BD⊥BE），△DEA1也为直角△，于是A1E^2+A1D^2=BE^2+BD^2，我相信计算出A1E、A1D、BE、BD应该是很容易的（A1E、BE含有x），从而得出一个方程，求解可得PB=x=81/100（你自己再解下看是不是这么多），再由tan∠PAB=PB/AB=PB/3就得到结果了~
收起
建系可解 即角PAB 因为面A1ABB1与底面垂直..不过我纳闷AP BD怎么垂直啊..见图..