若a,b,c>0,证明ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 07:24:37

若a,b,c>0,证明ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)
若a,b,c>0,证明ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)

若a,b,c>0,证明ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)
由柯西不等式知[ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)]^2
<=[ab/(ab+bc)+bc/(bc+ca)+ac/(ab+ac)](ab+ac+bc)
=ab+bc+ac+ca^2/(a+c)+ab^2/(a+b)+bc^2/(b+c)(这要耐心算)
=ab+bc+ac+(a/2)*[(2/(1/a+1/c)]+(b/2)*[(2/(1/a+1/b)]+(c/2)*[(2/(1/b+1/c)]
<=ab+bc+ac+a(a+c)/4+b(a+b)/4+c(b+c)/4
=3/4*(ab+bc+ac)+1/4<=1/4*(a+b+c)^2+1/4
=1/2
故ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)<=√2/2
说实话,这道题真的很难啊,做了我一天

题有问题吧?
取a=b=c=1
则ab/√(ab+bc)+bc/√(bc+ca)+ac/√(ab+ac)=)=3√2/2