作业帮23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n,求证cosnA也是有理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 02:18:32
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n,求证cosnA也是有理数
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n,求证cosnA也是有理数
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n,求证cosnA也是有理数
分析：（1）设出三边为a,b,c,根据三者为有理数可推断出b^2+c^2-a^2是有理数,b^2+c^2-a^2是有理数,进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出 （b^2+c^2-a^2）/2bc也为有理数,根据余弦定理可知 （b^2+c^2-a^2）/2bc=cosA,进而可知cosA是有理数．
（2）先看当n=1时,根据（1）中的结论可知cosA是有理数,当n=2时,根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数,再假设n≤k（k≥2）时,结论成立,进而可知coskA、cos（k-1）A均是有理数,用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A,根据cosA,coskA,cos（k-1）A均是有理数推断出cosA,coskA,cos（k-1）A,即n=k+1时成立．最后综合原式得证．
（1）证明：设三边长分别为a,b,c, cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc,
∵a,b,c是有理数,b^2+c^2-a^2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
∴ （b^2+c^2-a^2）/2bc必为有理数,
∴cosA是有理数．
（2）①当n=1时,显然cosA是有理数；
当n=2时,∵cos2A=2cos2A-1,因为cosA是有理数,∴cos2A也是有理数；
②假设当n≤k（k≥2）时,结论成立,即coskA、cos（k-1）A均是有理数．
当n=k+1时,cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA, cos(k+1)A=coskAcosA-1/2[cos(kA-A)-cos(kA+A)], cos(k+1)A=coskAcosA-1/2cos(k-1)A+1/2cos(k+1)A,
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA,coskA,cos（k-1）A均是有理数,∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数,
∴cosA,coskA,cos（k-1）A均是有理数．
即当n=k+1时,结论成立．
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数．
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令复数Z=cosA+sinA*i
所以Z平方=cosA平方-sinA平方+sin2A*i
=2cosA平方-1+sin2A*i
=cosA2A+sin2A*i
同理，Z三方=cos3A+sin3A*i
因为cosA为有理数，
所以对于任意的N为偶数，cosnA为有理数。
当N为奇数时，sin2A=2sinAcosA
Z三方中正弦乘...
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令复数Z=cosA+sinA*i
所以Z平方=cosA平方-sinA平方+sin2A*i
=2cosA平方-1+sin2A*i
=cosA2A+sin2A*i
同理，Z三方=cos3A+sin3A*i
因为cosA为有理数，
所以对于任意的N为偶数，cosnA为有理数。
当N为奇数时，sin2A=2sinAcosA
Z三方中正弦乘积部分sin2AsinA=2sinA平方*cosA=（1-cos2A）*cosA
因为cos2A，cosA均为有理数
所以N为奇数时，cosnA为有理数。
综上所述，对于任意的正整数n，cosnA是有理数
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