设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R,CQ与DE相交于点P,求S△ABC与S△PQR的比值希望能给出证明中间三角形是正三角形的完整过程。

设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R,CQ与DE相交于点P,求S△ABC与S△PQR的比值希望能给出证明中间三角形是正三角形的完整过程。
设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R,CQ与DE相交于点P,求S△ABC与S△PQR的比值
希望能给出证明中间三角形是正三角形的完整过程。各位如果能再给出正三角形的严格完整证明过程我就采纳，

设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R,CQ与DE相交于点P,求S△ABC与S△PQR的比值希望能给出证明中间三角形是正三角形的完整过程。
以D为原点,BC为X轴,DA为Y轴建立直角坐标系
为了书写方便,设DC长为1
则可知坐标A（0,根号3）B（-1,0）C（1,0）
EF:y=根号3 /2
DF:y=-根号3*x
DE:y=根号3*x
设如下直线
AR:y=k1x+根号3
BP:y=k2x+k2
CQ:y=k3x-k3
他们分别与EF,FD,DE联立解得
P(k3/(k3-根号3),根号3*k3/(k3-根号3))
Q(-根号3/(2*k1),根号3/2)
R(-k2/(k2+根号3),根号3*k2/(k2+根号3))
分别代入BP,CQ,AR,整理如下
根号3k3=2k2k3-根号3k2
根号3k1=-2k1k3-根号3k3
k1k2=3
k1=根号15+2根号3
k2=根号15-2根号3
k3=-根号15/5
所以
P((根号5-1)/4,(根号15-根号3)/4)
Q((2-根号5)/2,根号3/2)
R((根号5-3)/4,(3根号3-根号15)/4)
计算可知PQ,QR,PR相等,为根号(7-3根号5)
S△ABC：S△PQR=4/(7-3根号5)

9

设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R，CQ与DE相交于点P，求S△ABC与S△PQR的比值
放屁比值不是“放屁”这题没法做，就是在放屁可能需要用塞瓦定理或者梅涅劳斯定理，可惜我没能做出来。以B为原点建立直角坐标系，经解析法可以得到直线CQ解析式的k满足一个三次方程，但是这个三次方程的系...

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设D,E,F分别是正三角形ABC的边BC,CA,AB的中点,点P,Q,R分别在边DE,EF,FD上,且AR与EF相交于点Q,BP与DF相交于R，CQ与DE相交于点P，求S△ABC与S△PQR的比值
放屁

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初一就这么难了啊？一看就是叶中豪风格的...汗...
应该不是很复杂，是旋转变换的应用
算出来很奇怪啊 ...汗...
4根三：1-3根15+6根三如何证明PQR是正三角形呢？这个很好证..对称性同一法 似乎没有用到梅内劳斯和塞瓦定理阿可以把过程写出来吗？另外您的答案是否漏了括号？答案可以说一下嘛？我的答案对了吗？...阿我自己用计算器可以算出纯小数的答案，是12.几，...

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初一就这么难了啊？一看就是叶中豪风格的...汗...
应该不是很复杂，是旋转变换的应用
算出来很奇怪啊 ...汗...
4根三：1-3根15+6根三

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12

找相似三角形啦，比如说AEQ和QEP（用角相等证就行了），得出AE/EQ=EQ/EP，又因为AE=EQ+EP，然后就算吧……
你们学过余弦定理吧？
我算出来很奇怪，不写了……初中竞赛应学的都学过，您可以放心解答。如果AEQ和QEP相似，如何证明角EQP=PCB=QAE？ARB BPC CQA三个三角形全等应如何得出？谢谢。 另外，可能需要运用到塞瓦或者梅涅劳斯。至于正三角形用反证法...

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找相似三角形啦，比如说AEQ和QEP（用角相等证就行了），得出AE/EQ=EQ/EP，又因为AE=EQ+EP，然后就算吧……
你们学过余弦定理吧？
我算出来很奇怪，不写了……

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不用那么麻烦的吧，其实你已经考虑到了，就不妨先去特殊值即中点三角形△P1Q1R1，接下来只需证明三个差值三角形全等就好了。

（7+3√5）/4您这个是边长比还是面积比？如果是面积比似乎太小了吧？另外可以给出完整过程吗？是4/（7-3√5）即7+3√5可以给出完整过程吗？过程完整我就采纳。十分感谢。不妨设FE=1 设QE=X PE=Y RD=Z 由三角形QEP与三角形CDP相似得： X/1=Y/(1-Y) 同理：由三角形DPR与三角形FBR相似得： (1-Y)/1=Z/(1-Z) 同理：由三角形FRQ与三...

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（7+3√5）/4

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列出函数关系 三角形FED为限定条件 建议用几何画板做一下
比较麻烦 不是初中程度的 就这种破题出给初中生本身就是一个错误

7-3根号5

设AB=a，fq/qe=b，利用三角形AEQ和三角形FRR的相似性，得出FR比AE的关系，而AE=a/2,如此把同样的相似三角形共三组，都通过类似关系联立关于a和b的方程，最后可以消掉a，得b^2+b-1=0,求得b=（根号5-1）/2
同理可的EP/PD=DR/RF=b，于是FQR，EPQ，PDR这3个三角形全等，FR边长度根据b值求出，面积利用高的同样比例性，三三角形面积可求，于是PQ...

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设AB=a，fq/qe=b，利用三角形AEQ和三角形FRR的相似性，得出FR比AE的关系，而AE=a/2,如此把同样的相似三角形共三组，都通过类似关系联立关于a和b的方程，最后可以消掉a，得b^2+b-1=0,求得b=（根号5-1）/2
同理可的EP/PD=DR/RF=b，于是FQR，EPQ，PDR这3个三角形全等，FR边长度根据b值求出，面积利用高的同样比例性，三三角形面积可求，于是PQR的面积利用减发也可求
此题的启示是什么？几何的关键，个元素之间的相对位置是相互决定，互为因果的。明确相对位置是解几何题的总战略。
长度，平行，垂直，相交，这些关系，元素，是原生的，是第一道直观
角度，面积，体积，这些是派生的
先明确原生关系，从而明确派生关系。这是个优先原则，在实际解题中更清晰，风险回报更有利

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先证明PQR为正三角形：
令FE=FD=DE=1, 设EQ=X, DP=Y FR=Z,
由QEP与CDP相似得：QE/DC=EP/PD,即
X/1=(1-Y)/Y （一式）
同理：Y/1=(1-Z)/Z ; Z/1=(1-X)/X ;
全都代入（一式）消去Y,Z得：X^2+X-1=0
解得X=[sqrt(5)-1]/2
再带回去就能解出...

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先证明PQR为正三角形：
令FE=FD=DE=1, 设EQ=X, DP=Y FR=Z,
由QEP与CDP相似得：QE/DC=EP/PD,即
X/1=(1-Y)/Y （一式）
同理：Y/1=(1-Z)/Z ; Z/1=(1-X)/X ;
全都代入（一式）消去Y,Z得：X^2+X-1=0
解得X=[sqrt(5)-1]/2
再带回去就能解出Y，Z，发现X=Y=Z.（如果只证明中间是等边的话不解也行，通过观察那三个式子就能得出X=Y=Z）
然后可以证明QFR, RDP, EPQ 这三个三角形是全等（边角边），
得到RP=PQ=QR,就可以了。
如果继续算的话可以通过余弦定理算出中间这个正三角形的边长，面积比等于边长比的平方。
余弦定理：http://baike.baidu.com/view/52606.htm
计算有点繁琐，楼主应该可以搞定。

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13.7082

多证几次全等，没那么复杂

证△RPQ形状，我提供一种思路。
证：1：对于线段AR，QC已定时，存在B、R、P三点共线，根据此三点共线条件知线段BR斜率等于BP斜率。
2：由此作出平面坐标系，以B点为原点，BC为X轴，与BC垂直的直线y（未画图）为y轴，设BC=AB=AC=2m，设 FQ=x，由此可导出Q、R、P三点坐标。
#思路##若导出x与m的关系，以及证明x是否与RD相等，即...

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证△RPQ形状，我提供一种思路。
证：1：对于线段AR，QC已定时，存在B、R、P三点共线，根据此三点共线条件知线段BR斜率等于BP斜率。
2：由此作出平面坐标系，以B点为原点，BC为X轴，与BC垂直的直线y（未画图）为y轴，设BC=AB=AC=2m，设 FQ=x，由此可导出Q、R、P三点坐标。
#思路##若导出x与m的关系，以及证明x是否与RD相等，即证出△RPQ是否为等边三角形###
3：明显Q纵坐标为 根号3倍m。横坐标x+（m/2），即Q（x+（m/2），根号3倍m）
延长QR交BD于S（下面回答有图，借用），则BS=2x（中位线定理）→SD=m-2x，根据△FQR相似于△DSR，过R分别向FQ，SD作高，两条高分别记作h1,h2，
则h1/h2=x/m-2x，可推知R纵坐标为h2=2分之根号3×m × (m-2x) /m-x=根号3倍m × (m-2x) /2(m-x)，
设R对SD作高时交SD于K，则可求BK，即R横坐标。
∵KD=RD×COS60°，RD=m×(m-2x) /m-x，→KD=m×(m-2x) /2（m-x ）→BK=m-KD
∴ R坐标{m-[m×(m-2x) /2（m-x ）]，根号3倍m × (m-2x) /2(m-x)
，}
同理分析：求出点P坐标，此时QE=m-x，过Q作BC垂线，交BC于T,前面求得BT=x+（m/2），
CT=BC-BT=(3m/2)-x，
求出PC，PC纵坐标为 2分之根号3×m × m/2m-x，横坐标为 BC-（CT×m/2m-x），
设P,R点 纵坐标 为Y,横坐标为X， 则 ：
Yp/Xp=Yr/Xr......（1）， 由（1） 推出 x与RD的关系，
重点：由上分析有：只需证明x=RD=m×(m-2x) /m-x ， 即证明 FQ=RD，
若 △RPQ是等边三角形，也必然存在此关系。一旦 FQ=RD，由图形对称性质知转换X,Y轴，又可以证明RD=PE,从而证明△RPQ是等边三角形。反之，则不是。
为使证明计算简便，我令的m=2(正式的证明不建议这样做，不严密)，由（1）推得x^2-6x+4=0.
而若x=RD=m×(m-2x) /m-x成立，（此处m也令作2），也刚好推出x^2-6x+4=0.
故 命题得证。
至于接下来的求比值，在知道小三角形形状后，不难求。底下也有参考。
你之前的方法算出的结果若自己觉得不怎么对，可以试试我的这种：令m=2求出s△ABC，然后求出x，即FQ，也就求出了FR，再求s△QFR，那就很简单。s△QFR=FR·FQ·sin60°，求出这个，内部的正三角形面积就简单了（此时已证明△RPQ是等边三角形）。
若有什么问题，或是什么疑惑，请尽管找我。

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哪有这么复杂，正三角形的证明参照楼上ln_lx的，中间三角形的面积通过减掉三个小三角形就可以算出来了嘛，这个只有用到相似三角形的内容

S三角形ABC：S三角形DEF=4:1
S三角形DEF：S三角形QRP=4:1
所以S三角形ABC：S三角形QRP=16:1

很简单的一道题 自己想想吧 如果你想不出来米 我

应该找http://zhidao.baidu.com/question/370968782.html?seed=0# | 评论
2012-1-28 13:07 bd_yyhj

已经做出来了，证明中间三角形是正三角形的完整过程如下图(由于一次只能贴一张图本题求解过程请你追问，我再贴一张上去)。

设EP=a，FQ＝b，RD＝c
不妨设a≥b≥c
调整b，变大为a（即FQ增加），将导致RD即c变小，进一步EP即a变大
但将△ABC逆时针旋转60°，即EP旋转到FQ的位置，此时FQ旋转到了RD的位置，即RD位置变成了b。
两种方法得到的RD位置长度不一样，故矛盾。
所以a＝b＝c
即FQ＝RD＝EP，那么FR＝DP＝EQ
而△EFD为等边...

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设EP=a，FQ＝b，RD＝c
不妨设a≥b≥c
调整b，变大为a（即FQ增加），将导致RD即c变小，进一步EP即a变大
但将△ABC逆时针旋转60°，即EP旋转到FQ的位置，此时FQ旋转到了RD的位置，即RD位置变成了b。
两种方法得到的RD位置长度不一样，故矛盾。
所以a＝b＝c
即FQ＝RD＝EP，那么FR＝DP＝EQ
而△EFD为等边三角形，可证△FQR，△DRP，△EPQ全等
所以QP＝QR＝PR，即△PRQ为等边△
有了这个，也可知P为ED的黄金分割点，Q为EF的黄金分割点，R为FD的黄金分割点
这样求面积比也容易了

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