三角形的心

三角形的心
三角形的心

三角形的心
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心到三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.
三角形的五心 一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍,该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点,该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心,它们都是三角形的重要相关点.
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里.
重心
物理术语
定义：一个物体的各部分都要受到重力的作用.从效果上看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫做物体的重心.
物体的重心位置质量均匀分布的物体（均匀物体）,重心的位置只跟物体的形状有关.有规则形状的物体,它的重心就在几何重心上,例如,均匀细直棒的中心在棒的中点,均匀球体的重心在球心,均匀圆柱的重心在轴线的中点.不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定物体的重心,不一定在物体上.
质量分布不均匀的物体,重心的位置除跟物体的形状有关外,还跟物体内质量的分布有关.载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化,起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化.
过重心的一条直线或切面把物体或图形分成两份,则两份的体积或面积不一定相等.（不是所有过重心的直线或切面都平分物体或图形的面积或体积,例如过正三角形重心且平行一边的一条直线把三角形分成面积比为4：5的两部分.关于这一点,可以用物理学的杠杆原理解释：分成的两块图形的重心分别到三角形重心的距离相当于杠杆的两个力臂,而两图形的面积相当于杠杆的两个力.因为重心相当于两个图形的面积“集中”成的一点（参考重心定义）.如以上的例子,分割成的两个图形重心分别到三角形重心的距离正好等于5：4.如有兴趣,可用几何画板软件画图证明.）
物体重心位置的数学确定方法：
在某物体（总质量为M）所在空间任取一确定的空间直角坐标系O-xyz,则该物体可微元出i个质点,每个质点对应各自坐标(xi,yi,zi)及质量mi,
易知M=m1+m2+¨+mi,设该物体重心为G(X,Y,Z)
则X=(x1m1+x2m2+¨+ximi)/M
Y=(y1m1+y2m2+¨+yimi)/M
Z=(z1m1+z2m2+¨+zimi)/M 重心的作用 凡人有四肢躯干.头为首.其站立俯仰.亦各有姿势.姿势立.则生重心.重心稳固.所谓得机得势.重心失中.乃有颠倒之虞.即不得机.不得势也.拳术,功用之基础.则在重心之稳固与否.而重心又有固定与活动之分.固定者.是专主自己练习拳术之时.每一动作.一姿势.均须时时注意之.或转动.或进退皆然.重心与虚实本属一体.虚实能变换无常.重心则不然.虽能移动.因系全体之主宰.不能轻举妄动.使敌知吾虚实.又如作战然.心为令.气为旗.腰为纛. 太极拳以劲为战术.虚实为战略.意气为指挥.听劲为间牒.重心为主帅.学者.应时时揣摸默识体会之.此为斯道全体大用也.重心活动之谓.系在彼我相较之间.虽在决斗之中.必须时时维持自己之重心.而攻击他人之重心.即坚守全军之司令.而不使主帅有所失利也. 三角形的重心 重心是三角形三边中线的交点,三线交一可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例.
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点. 线段的重心 线段的重心就是线段的中点 平行四边形的重心 平行四边形的重心就是它两条对角线的交点 重心的影响因素 1、物体的形状
2、.质量的分布 寻找重心的方法 a、悬挂法
只适用于很薄的物体.首先找一根细绳,在物体上找一点,用绳悬挂,划出物体静止后的重力线,同理再找一点悬挂,两条重力线的交点就是物体重心.
b、支撑法
有一个点支撑物体,不断变化位置,越稳定的位置,越接近重心.
三角形重心的性质
重心是三角形三边中线的交点
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、等积：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、重心到三角形的三个顶点的向量和为零.