图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点 复制的一边玩去图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合）,BP与AC相交于点E,设AP=x．

图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点 复制的一边玩去图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合）,BP与AC相交于点E,设AP=x．
图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点 复制的一边玩去
图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合）,BP与AC相交于点E,设AP=x．
（1）求AC的长；
（2）如果△ABP和△BCE相似,请求出x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时,求x的值．

图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点 复制的一边玩去图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合）,BP与AC相交于点E,设AP=x．
1.直接用余弦定理求得AC=√(28)=2√(7)
2.△ABP∽△BCE∽△PAE,
则∠APB=∠PAE,
△APE中AE=PE,
那么BE=CE,AC=BP=2√(7),
△APB中,∠PAB=180°-60°=120°,由余弦定理,得：BP^2=4^2+X^2-2*4*X*cos120°=28
解这个方程,得到X=2或X=-6(舍去）
3.△ABE是等腰三角形有两种情形：
1)AB=BE=4,则BE/BC=PE/PA=(BE+PE)/(BC+AP)=BP/(BC+AP)
,代入数据并化简,得方程5X^2-12X=0,X=0(舍去),或X=2.4
2)AE=BE,此时令BP交CD与点F,则BF=AC,
代入数据并化简,得方程X^2+18X+72=0,X=-6（舍去）,X=-12（舍去）.这说明这样的情形不存在.
综合以上,X=2.4

1）过A作AF⊥BC于D,因为∠B=60°，AB=4，所以BF=2，AF=2根号3
因为BC=AD=6，所以FC=4，又因为AF=2根号3，所以AC=2根号7

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（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ （1分）
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴ 即
解得 （不合题意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）1°当AE=AB=4时
∵AP∥BC∴

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（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ （1分）
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴ 即
解得 （不合题意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）1°当AE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （2分）
2°当BE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （2分）
2°当BE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （不合题意，舍去）（2分）
3°在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵ 在线段FC上截取FH=AF
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE（1分）
综上所述，当△ABE是等腰三角形时， 或

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（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4× = BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴ （1分）
（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ （1分）
如果△ABP和△BCE...

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（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4× = BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴ （1分）
（2）过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴ （1分）
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴ 即
解得 （不合题意，舍去）
∴x=8（1分）（3）1°当AE=AB=4时
∵AP∥BC∴即 解得 （2分）
2°当BE=AB=4时
∵AP∥BC∴
即 解得 （不合题意，舍去）（2分）
3°在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵ 在线段FC上截取FH=AF
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE（1分）

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